学案学案44复数复数返回目录一.复数的有关概念1.（1）若i为虚数单位，规定①i2=;②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算律仍然成立.（2）形如a+bi(a,bR)∈的数叫做复数，a,b分别叫做复数的.若b=0,则复数a+bi为；若b≠0，则复数a+bi为；-1实部、虚部实数虚数考点分析返回目录（3）若a,b,c,dR∈，则a+bi=c+di的充要条件是.（4）若a,b,c,dR∈，则a+bi与c+di为共轭复数的充要条件是.2.（1）建立直角坐标系来表示复数的平面叫，叫做实轴，叫做虚轴.（2）复数z=a+bi(a,bR)∈与复平面内的点建立了关系.一一对应a=c且b=da=c且b=-d复平面x轴y轴若b≠0，且a=0时，则复数a+bi为.纯虚数返回目录二.复数的运算：1.运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).∈（1）z1±z2=(a+bi)±(c+di)=.（2）z1·z2=(a+bi)(c+di)=.（3）=.(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(ad+bc)idi+cbi+a22dcad)i-bd)(bc(ac=zz21（4）zm·zn=,(zm)n=,(z1·z2)n=（其中m,nZ∈）;n+mzzmnn2n1·zz返回目录（5）=(a+bi)n=;（6）求a+bi的平方根.x2-y2=a,2.常见的运算规律（1）i的周期性：i4n+1=,i4n+2=,i4n+3=,i4n=(nZ);∈（2）(a+bi)(a-bi)=;（3）（1±i）2=；n1z求出x,y.设(x+yi)2=a+bi，由{ib+…+ibaC+biaC+ann222-n2n-1n1nn2xy=bi-1-i1a2+b2±2i（4）=,=;（5）=;（6）b-ai=(a+bi)·(-i),-b+ai=(a+bi)i.返回目录i-1i+1i+1i-12)2i±1(±ii-i返回目录复数z=+(m2-2m-15)i，求实数m，使得（1）z是实数；（2）z是纯虚数；（3）z所对应的点在复平面的第二象限；（4）z是复数.考点一复数的基本概念考点一复数的基本概念【分析】【分析】根据复数的有关概念的定义，把此复数的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的条件这一实数问题去求解.3+m6-m-m2题型分析返回目录【解析】【解析】实部为=,虚部为m2-2m-15=(m+3)(m-5).(m+3)(m-5)=0m+3≠0，m=-3或m=5m≠-3.∴当m=5时，z是实数.3+m6-m-m23+m3)-2)(m+(m(1)要使z为实数，则{即{返回目录=0(m+3)(m-5)≠0,m=-2或m=3m≠-3且m≠5,∴当m=-2或m=3时，z是纯虚数.3+m3)-2)(m+(m（2）要使z为纯虚数，则{{即（3）由复数z所对应的点在复平面上第二象限的充要条件知<0(m+3)(m-5)>0,m<-3或-25或m<-3.∴当m<-3时，z所对应的点在第二象限.∈R(m+3)(m-5)R,∈∴当m≠-3时，z为复数.返回目录3+m3)-2)(m+(m即{{∴m<-3.（4）要使z为复数，则{3+m3)-2)(m+(m【评析】【评析】本题考查复数集中各数集的分类及复数的几何意义，本题中给出的复数采用的是标准的代数形式；若不然，则应先化为代数形式后再依据概念求解.返回目录下列四个命题中正确结论的个数为（）①满足z=的复数有±1,±i;②若a,bR∈且a=b,则(a-b)+(a+b)i是纯虚数；③复数zR∈的充要条件是z=z；④复平面内x轴是实轴，y轴是虚轴.A.0个B.1个C.2个D.3个＊对应演练＊＊对应演练＊返回目录z1C(±i不满足z=，故①错；当a=b=0时，(a-b)+(a+b)i是实数,故②错；③④正确.故应选C.)Cz1返回目录已知x,y为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i，求x,y.【分析】【分析】解决此类问题的基本方法是设复数的代数形式，化虚为实.考点二复数相等的充要条件考点二复数相等的充要条件【解析】【解析】设x=a+bi（a,bR∈），则y=a-bi,代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,4a2=4,-3(a2+b2)=-6.根据复数相等得{返回目录a=1a=1a=-1a=-1b=1b=-1b=1b=-1.x=1+ix=1-iy=1-iy=1+ix=-1+ix=-1-iy=-1-iy=-1+i.或或或解得{{{{或{∴所求复数为{或{或{【评析】【评析】利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想.2.已知复数ｚ与（ｚ＋２）２－８ｉ均是纯虚数，则ｚ＝.【分析】【分析】根据复数代数形式，可设z=bi(bR,∈b≠0)，代入(z+2)2-8i并求出它的实部和虚部，利用定义求出b.返回目录【解析】【解析】设z=bi(bR∈且b≠0),则(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i,又(z+2)2-8i为纯虚数，4-b2=04b-8≠0,b=-2.∴有{解得∴z=-2i.【评析】【评析】由复数z=a+bi(a,bR)∈为纯虚数的条件列出关系式.要完整理解复数分类的条件.本题中均不可忽视复数z=a+bi为纯虚数的一个必要不充分条件是b≠0.返回目录返回目录＊对应演练＊＊对应演练＊已知A={1,2,(a2-...
