第2讲椭圆、双曲线、抛物线要点知识整合椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线图象几何性质热点突破探究典例精析典例精析题型一题型一圆锥曲线的定义例例11已知P为椭圆x24＋y2＝1和双曲线x2－y22＝1的一个交点，F1，F2为椭圆的两个焦点，那么∠F1PF2的余弦值为__________．【解析】由椭圆和双曲线的方程可知，F1，F2为它们的公共焦点，不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|＋|PF2|＝4|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3|PF2|＝1，又|F1F2|＝23，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－13.【答案】－13【题后拓展】圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|.变式训练变式训练1．已知定点A(2,1)，F(1,0)是椭圆x2m＋y28＝1的一个焦点，P是椭圆上的点，求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．解：由F(1,0)在x轴上，∴m－8＝1，∴m＝9，即椭圆方程为x29＋y28＝1.如图，设左焦点为F′，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|＝6＋(|PA|－|PF′|)．连接AF′并延长交椭圆于P1，反向延长线交椭圆于P2，P1、P2分别使|PA|＋|PF|取得最大值和最小值，且为6＋10和6－10.题型二题型二圆锥曲线的几何性质例例22(1)(2010年高考天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________________．(2)(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF→＝2FD→，则C的离心率为__________．【解析】(1)由双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝3x得ba＝3，∴b＝3a. 抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4.又 c2＝a2＋b2，16∴＝a2＋(3a)2，∴a2＝4，b2＝12.即所求双曲线的方程为x24－y212＝1.(2)设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则BF→＝(c，－b)，FD→＝(xD－c，yD)， BF→＝2FD→，∴c＝2（xD－c），－b＝2yD，∴xD＝3c2，yD＝－b2.∴（3c2）2a2＋（－b2）2b2＝1，化简得e2＝13，∴e＝33.【答案】(1)x24－y212＝1(2)33【题后点评】(1)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．(2)抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线．这里强调p的几何意义是焦点到准线的距离．变式训练变式训练2．(1)(2010年高考陕西卷)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为()A.B．1C．2D．412解析：选C.由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－p2.由x2＋y2－6x－7＝0得(x－3)2＋y2＝16. 准线与圆相切，∴3＋p2＝4，∴p＝2.(2)(2010年高考辽宁卷)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.2B.3C.3＋12D.5＋12解析：选D.设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，设F(c,0)，B(0，b)，kBF＝－bc，双曲线渐近线的斜率k＝±ba. BF与一条渐近线垂直，∴－bc·ba＝－1，∴b2＝ac，又a2＋b2＝c2，∴c2－ac－a2＝0，∴e2－e－1＝0，∴e＝1＋52或e＝1－52(舍)，∴e＝5＋12，故选D.题型三题型三圆锥曲线的最值或定值问题例例33已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.(1)求证：直线MN恒过定点；(2)求|MN|的最小值．【解】(1)证明：由题意可知直线AB，CD的斜率都存在且不等于零，F(1,0)．设lAB：y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.∴xM＝xA＋xB2＝k2＋2k2，yM＝k(xM－1)＝2k.故M(k2＋2k2，2k)．因为CD⊥AB，所以将点M坐标中的k换为－1k，得N(2k2＋1，－2k)．当k≠±1时，则lMN：y＋2k＝－2k－2k2k2＋1－k2＋2k2·(x－2k2－1)，即(1－k2)y＝k(x－3)，此时直线MN恒过定点T(3,0)；当k＝±1时，MN的方程为x＝3，也过(3...
