第二节复数的概念与运算重点难点重点：(1)复数的有关概念．(2)复数代数形式的四则运算法则．难点：复数的分类、几何意义及除法运算．知识归纳一、复数的概念1．虚数单位i：(1)i2＝－1；(2)i和实数在一起，服从实数的运算律．2．代数形式：a＋bi(a，b∈R)，其中a叫实部，b叫虚部．3．复数的分类复数z＝a＋bi(a、b∈R)中，z是实数⇔_______，z是虚数⇔z是纯虚数⇔a＝04．a＋bi与a－bi(a，b∈R)互为共轭复数b＝0b≠0b≠0二、复数相等的条件a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔a＝c且b＝d.特别a＋bi＝0(a、b∈R)⇔a＝0且b＝0.三、复平面建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应复数0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系．以原点O为起点，复数z在复平面内的对应点Z为终点的向量OZ→，与复数z一一对应，OZ→的模叫做复数z的模．四、运算法则z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)．1．z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；2．z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；3.z1z2＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.误区警示1．在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a、b、c、d∈R.因此，解决复数相等问题，一定要把复数的实部和虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题．2．两复数不全是实数，就不能比较大小，只有相等与不相等关系．3．注意虚数与纯虚数的区别．一、方程思想解决复数问题，常常要设出复数的代数形式，或设出方程的实根，利用复数相等的条件转化为实数的方程求解．二、解题技巧复数的四则运算中，加、减法相当于“合并同类项”，乘法相当于“多项式乘以多项式”，除法采用的手法是“分母实数化”—即分子、分母同乘以分母的共轭复数．类似于“分母有理化”方法、可类比记忆[例1](2010·陕西省宝鸡市)已知m∈R，复数m＋i1＋i－12的实部和虚部相等，则m等于________．复数的实部与虚部解析： m＋i1＋i－12＝m＋i1－i2－12＝m2＋1－m2i，∴m2＝1－m2，∴m＝12.答案：12•点评：将复数写成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，则a为实部，b为虚部．(2011·甘肃第一次高考诊断)如果复数z＝2－bi1＋i(b∈R)的实部和虚部互为相反数，则b的值等于()A．0B．1C．2D．3解析：z＝2－bi1－i1＋i1－i＝2－b2－2＋b2i，由2－b2＝2＋b2，得b＝0.答案：A[例2]若sin2θ－1＋i(2cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为()A．2kπ－π4(k∈Z)B．2kπ＋π4(k∈Z)C．2kπ±π4(k∈Z)D.k2π＋π4(k∈Z)复数的分类解析：由题意，得sin2θ－1＝02cosθ＋1≠0，⇒θ＝kπ＋π4θ≠2kπ±3π4，∴θ＝2kπ＋π4，k∈Z.答案：B•点评：掌握复数分类的充要性是解此类题的关键.复数与复平面上的点是一一对应的，这为形与数之间的相互转化，为解决实际问题提供了一条重要思路.•要准确理解复数为纯虚数的等价条件，切不可忘记复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的一个必要条件是b≠0.计算中分母不为零也不可忽视．(文)(2010·广东罗湖区调研)若复数(a2－4a＋3)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A．1B．3C．1或3D．－1解析：由条件知a2－4a＋3＝0a－1≠0，∴a＝3.答案：B•(理)若复数z＝lg(m2－2m－3)＋i·lg(m2＋3m－3)为实数，则实数m的值为()•A．－4B．1•C．－4或1D．－2解析：由条件知，m2＋3m－3＝1m2－2m－3>0，∴m＝－4.答案：A[例3](2010·江西理)已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为()A．x＝－1，y＝1B．x＝－1，y＝2C．x＝1，y＝1D．x＝1，y＝2分析：按复数的乘法运算展开后，由复数相等的条件列方程组求解．复数相等的条件解析：由(x＋i)(1－i)＝y得(x＋1)－(x－1)i＝y由复数相等有x＋1＝yx－1＝0，解得x＝1y＝2，故选D.答案：D•(文)(2011·湖南文，2)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()•A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1•C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1•解析：由(a＋i)i＝b＋i，得ai－1＝b＋i，•所以a＝1，b＝－1.•答案：C(理)(2011·安徽宣城调研)已知i是虚数单位，复数z满...
