第3节直接证明与间接证明考纲展示考纲解读1.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法．浙江高考题中对证明方法的考查渗透在各大题中，一般重点考查综合法.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法.(对应学生用书第178页)1．直接证明质疑探究：综合法和分析法有什么区别和联系？提示：分析法是执果索因，一步步寻求上一步成立的充分条件，仅是充分条件，而不需要充要条件．综合法是由因导果．因此分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考的逆过程．2．间接证明——反证法假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法中常见的“结论词”与“反设词”归纳如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n＋1个p且q綈p或綈q1．要证明3＋7＜25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(B)(A)综合法(B)分析法(C)反证法(D)归纳法解析：根据条件和分析法的定义可知B选项最合理．故选B.2．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是(D)(A)无解(B)两解(C)至少两解(D)无解或至少两解解析：“唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面应是“无解或至少两解”．故选D.3．设a，b∈R，已知p：a＝b；q：(a＋b2)2≤a2＋b22，则p是q成立的(B)(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析：p：a＝b是q：(a＋b2)2≤a2＋b22成立的充分条件．4．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除．”那么假设的内容是(D)(A)a，b中有一个不能被5整除(B)a，b中至多有一个能被5整除(C)a，b中至多有一个不能被5整除(D)a，b中没有一个能被5整除解析：“至少有n个”的否定是“最多有n－1个”．故选D.(对应学生用书第178～179页)综合法【例1】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝a，AB＝2a，E、F分别为C1D1、A1D1的中点．(1)求证：DE⊥平面BCE；(2)求证：AF∥平面BDE.思路点拨：(1)欲证DE⊥平面BCE，可证DE⊥EC，DE⊥BC.(2)欲证AF∥平面BDE，可证AF与平面BDE中某条直线平行，为此可连结AC，BD∩AC＝O，连EO，证AF∥EO.证明：(1) BC⊥侧面CDD1C1，DE⊂侧面CDD1C1，∴DE⊥BC.在△CDE中，CD＝2a，CE＝DE＝2a，则有CD2＝CE2＋DE2，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC.又 BC∩EC＝C，且BC、EC⊂平面BCE，∴DE⊥平面BCE.(2)如图所示，连结EF、A1C1，连结AC交BD于O，连结EO， EF綊12A1C1，AO綊12A1C1，∴四边形AOEF是平行四边形，∴AF∥OE.又 OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.本题直接从已知条件出发，利用线面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理，采用逻辑推理的办法直接推出结论，是一个典型的利用综合法证明问题的题目，几何中的证明大多是利用综合法来进行证明的．分析法【例2】△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.思路点拨：从已知到结论，方向不够明确，因而采用分析法探明解题途径是必要的．证明：要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3.即证ca＋b＋ab＋c＝1.又需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即需证c2＋a2＝ac＋b2， △ABC三个内角A，B，C成等差数列．∴B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac.∴c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．当所证命题不知从何入手时，有时可以运用分析法获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往行之有效，对含有根式的证明问题要注意分析法的使用．变式探究21：已知a＋b＋c＝0，求证ab＋bc＋ca≤0.证明：法一：(综合法) a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，展开得ab＋bc＋ca＝－a2＋b2＋c22，∴ab＋bc＋ca≤0.法二：(分析法)要证ab＋bc＋ca≤0，只需证ab＋bc＋ca≤(a＋b＋c)2，即证a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca≥0，即12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]≥0，上式显然成立，∴原式成立．法三： a＋b＋c＝0，∴－c＝a＋b.∴ab＋bc＋ca＝ab＋(a＋b)c＝ab－(a＋b)2＝－a2－b2－...
