直线与椭圆的位置关系4.椭圆的对称轴在坐标轴上，长轴是短轴的2倍，且过点(2,1)，则它的方程是__________.典型错例（课后巩固）：注意椭圆的基本量的变化！题型三：椭圆离心率的求解【例3】（2012新课标）设12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，P为直线32ax上一点，12PFF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）A.12B.23C.D.椭圆的几何性质椭圆的几何性质F1F2POyx(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PFPFa＋＝，得到a、c的关系．(2)对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式⇔(PF1＋PF2)2＝(2a)24c2＝PF21＋PF22－2PF1·PF2cosθS△＝12PF1·PF2sinθ.探究提高题型三：椭圆离心率的求解（2）已知关于x的一元二次方程220axbxc有两个不同的实根，则椭圆22221(0)xyabab的离心率的取值范围是（）A．51(0,)2B．51(,1)2C．52(,1)2例3.已知P是椭圆上一点,12,FF分别是椭圆的左右焦点，且12PFPF，求离心率的取值范围．解：当点P在椭圆短轴端点时，12FPF最大．45≥2sin2≥2sin2ca≥xF1F2oyP01e又≤212e题型四：直线与椭圆的位置关系[2012北京）已知椭圆C:22221(0)xyabab的一个顶点为(2,0)A，离心率为22.直线(1ykx）与椭圆C交于不同的两点M,N.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN得面积为103时，求k的值.“方程思想！”(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，求解中，常因忽略直线l的特殊形式而失分．探究提高[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．解：(1)设F(c，0)，由条件知，2c＝233，得c＝3.又ca＝32，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为x24＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故可设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入x24＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>34时，x1，2＝8k±24k2－34k2＋1，从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2|＝4k2＋1·4k2－34k2＋1.又点O到直线l的距离d＝2k2＋1.所以△OPQ的面积S△OPQ＝12d·|PQ|＝44k2－34k2＋1.设4k2－3＝t，则t>0，S△OPQ＝4tt2＋4＝4t＋4t.因为t＋4t≥4，当且仅当t＝2，即k＝±72时等号成立，满足Δ>0，所以，当△OPQ的面积最大时，k＝±72，l的方程为y＝72x－2或y＝－72x－2.例1.（07陕西）此时3313.224S22221||(1)()ABkxx2(1)k3312.222S跟踪训练：（本小题满分12分）已知定圆22:(3)16Mxy，动圆N过点(3,0)F且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E（1）求轨迹E的方程；（2）设点,,ABC在E上运动，A与B关于原点对称，且ACCB，当ABC的面积最小时，求直线AB的方程。【解析】(1)(2)y=x或y=﹣x解析：解：（Ⅰ）因为点在圆内，所以圆N内切于圆M，因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且，所以b=1，所以轨迹E的方程为．…（4分）（Ⅱ）（i）当AB为长轴（或短轴）时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时|AB|=2．…（5分）（ii）当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y=kx，联立方程得，所以|OA|2=．…（7分）由|AC|=|CB|知，△ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OC⊥AB，所以直线OC的方程为，由解得，=，，…（9分）S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=，由于，由于，所以，…（11分）当且仅当1+4k2=k2+4，即k=±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是，因为，所以△ABC面积的最小值为，此时直线AB的方程为y=x或y=﹣x．直线与椭圆的位置关系问题：12211||.lyyk忆一忆知识要点④可通过根与系数的关系来解决中点弦问题；这其中的解题方法就是常说的“设而不求，整体代入”；⑤忆一忆知识要点
