高考数学复习专题八第3讲不等式选讲课件理课件VIP免费

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§3不等式选讲真题热身1．(2011·陕西)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是______________________．解析 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝－2x＋1(x≤－1)，3(－1a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)|f(x)|0)⇔－a2的解集为__________．解析令f(x)＝4，x≤4，－2x＋12，48.图象如图所示．不等式|x－8|－|x－4|>2，即f(x)>2，由－2x＋12＝2得x＝5.由函数f(x)图象可知，原不等式的解集为{x|x<5}．{x|x<5}二、不等值的证明例2(2010·辽宁)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．证明方法一因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①1a＋1b＋1c≥3(abc)，所以(1a＋1b＋1c)2≥9(abc).②故a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥3(abc)＋9(abc).又3(abc)＋9(abc)≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．32132323323223当且仅当3(abc)＝9(abc)时，③式等号成立．故当且仅当a＝b＝c＝时，原不等式等号成立．方法二因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①同理1a2＋1b2＋1c2≥1ab＋1bc＋1ac，②故a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥ab＋bc＋ac＋3ab＋3bc＋3ac≥63.③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a＝b＝c＝时，原不等式等号成立．3223143143变式训练2设a，b，c均为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.证明因为a，b，c是正实数，由平均不等式可得1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc.而3abc＋abc≥23abc·abc＝23，所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.三、含绝对值的不等式的证明例3已知f(x)＝1＋x2，a≠b，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|.解 |f(a)－f(b)|＝|1＋a2－1＋b2|＝|a2－b2|1＋a2＋1＋b2＝|a－b||a＋b|1＋a2＋1＋b2，又|a＋b|≤|a|＋|b|＝a2＋b2<1＋a2＋1＋b2，∴|a＋b|1＋a2＋1＋b2<1. a≠b∴|a－b|>0.∴|f(a)－f(b)|<|a－b|.变式训练3设f(x)＝x2－x＋43，实数a满足|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．证明|f(x)－f(a)|＝|x2－x＋43－a2＋a－43|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|. |x－a|<1，∴|x|－|a|≤|x－a|<1.∴|x|<|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x－a|·|x＋a－1|≤|x＋a－1|≤|x|＋|a|＋1<2(|a|＋1)．规范演练1．(2011·广东)不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是__________．解析方法一不等式等价转化为|x＋1|≥|x－3|，两边平方得(x＋1)2≥(x－3)2，解得x≥1，故不等式的解集为[1，＋∞)．方法二不等式等价转化为...

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