2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程学习目标重点难点1.记住双曲线的定义,会推导双曲线的标准方程.2.学会用待定系数法求双曲线的方程.3.能与椭圆的标准方程进行比较并加以区分.重点:双曲线的定义与标准方程.难点:双曲线标准方程的推导.1.双曲线的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.预习交流1在双曲线定义中,把常数限定为“距离的差的绝对值”且“小于|F1F2|”,为什么?提示:①定义中要求是与两个定点的距离的差的绝对值等于常数,而不是与两个定点的距离的差等于常数,否则,轨迹将只是双曲线的某一支,而不是完整的双曲线.②定义中的常数应满足:大于零且小于|F1F2|.若常数等于零,则轨迹为线段F1F2的垂直平分线;若常数等于|F1F2|,则轨迹为以F1,F2为端点的两条射线;若常数大于|F1F2|,则轨迹不存在.2.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程2222xyab=1(a>0,b>0)2222yxab=1(a>0,b>0)焦点坐标(±c,0)(0,±c)a,b,c的关系c2=a2+b2预习交流2双曲线的标准方程中“a”与“b”的大小关系是否确定?如何根据双曲线的标准方程判断焦点所在位置?提示:给定一个双曲线的标准方程,判定它代表的双曲线的焦点的位置时,应根据x2和y2的系数的正负来确定.如果x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.双曲线的标准方程中的a和b之间没有确定的大小关系,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点所在的坐标轴.一、双曲线的定义若点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0且为常数)为两个不同的定点,且动点M满足|MF1|-|MF2|=2a(2a≥0且a为常数).求动点M的轨迹.思路分析:要紧扣双曲线的定义,注意题目中的两个字母c,a的关系,根据不同的大小关系分类讨论.解:若2a>2c>0,则点M的轨迹不存在.若2a=2c>0,则点M的轨迹是以点F2为端点,且与x轴正方向同向的射线,方程为y=0(x≥c).若0<2a<2c,则点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的右支,其方程为22222xyaca=1(x≥a).若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,方程为x=0.1.动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是().A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线答案:D解析:依题意|PM|-|PN|=2=|MN|,所以点P的轨迹不是双曲线,而是一条射线.2.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹分别是().A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条射线D.双曲线的一支和一条直线答案:C解析:当a=3时,|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|,所以P点轨迹是双曲线的一支;当a=5时,|PF1|-|PF2|=10=|F1F2|,所以P点轨迹是以F2为起点的一条射线.根据双曲线的定义判断动点轨迹时,一定要注意双曲线的定义中的各个条件,不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数,就认为其轨迹是双曲线,还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零,否则就不是双曲线.二、双曲线标准方程的理解讨论22xy25kk9=1表示何种曲线?思路分析:根据所给方程,依据25-k与k-9的符号及大小,确定方程所表示的曲线.解:由题意可知k≠25且k≠9.当k>25时,有25-k<0,k-9>0,所给方程表示焦点在y轴上的双曲线;当k<9时,有25-k>0,k-9<0,所给方程表示焦点在x轴上的双曲线;当90,k-9>0且25-k>k-9,所给方程表示焦点在x轴上的椭圆;当170,k-9>0且k-9>25-k,所给方程表示焦点在y轴上的椭圆;当k=17时,25-k=k-9=8,所给方程表示以原点为圆心,22为半径的圆.1.k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是().A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线答案:C解析:原方程可化为222yxk11k=1, k>1,∴k2-1>0,1+k>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.2.已知22xy1k|k|-3=-1,当k为何值时:①方程表示双曲线;②表示焦点在x轴上的双曲线;③表示焦点在y轴上的双曲线.解:①若方程表示双曲线,则有1k0,|k|-30或1k0,|k|-30.解得k<-3或1
