1．知识与技能理解空间向量基本定理．了解基向量、基底的概念．2．过程与方法会用空间三个不共面的向量表示空间任一向量．重点：空间向量基本定理．难点：基底概念的理解和用基底表示空间任一向量．1．用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．2．空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的一个基底．3．由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．4．用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结合图形，运用三角形法则、平行四边形法则及多边形法则，逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”．5．空间向量基本定理的证明设a、b、c不共面，过点O作OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OP→＝p；过点P作直线PP′平行于OC，交平面OAB于点P′；在平面OAB内，过点P′作直线P′A′∥OB，P′B′∥OA，分别与直线OA，OB相交于点A′，B′.于是存在三个实数x，y，z，使OA′→＝xOA→＝xa，OB′→＝yOB→＝yb，P′P→＝zOC→＝zc，OP→＝OA′→＋OB′→＋P′P→＝xOA→＋yOB→＋zOC→.∴p＝xa＋yb＋zc.1．空间向量基本定理(1)如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝.(2)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做，空间任何三个的向量都可构成空间的一个基底．xa＋yb＋zc{a，b，c}基向量不共面2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为)(2)空间直角坐标系以e1，e2，e3的为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz.单位正交基底公共起点Oe1，e2，e3(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p一定可以把它，使它的与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得.我们把称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝．平移起点p＝xe1＋ye2＋ze3x、y、z(x，y，z)[例1]若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．[分析]由题目可获取以下主要信息：①{a，b，c}是空间的一个基底；②判断{a＋b，b＋c，c＋a}是否也可作为该空间的一个基底．解答本题可先用反证法，判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．[解析]假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. {a，b，c}为基底．∴a，b，c不共面．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．[点评]判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有________个．[答案]3[解析]②③④都可以作为空间的一组基底，对于①，x＝a＋b，显然{a，b，x}不能作为空间的一个基底.[例2]如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQQA′＝41，用基底{a，b，c}表示以下向量．(1)AP→；(2)AM→；(3)AN→；(4)AQ→.[解析]连结AC，AD′.(1)AP→＝12(AC→＋AA′→)＝12(AB→＋AD→＋AA′→)＝12(a＋b＋c)(2)AM→＝12(AC→＋AD′→)＝12(a＋2b＋c)＝12a＋b＋12c.(3)AN→＝12(AC′→＋AD′→)＝12[(AB→＋AD→＋AA′→)＋(AD→＋AA′→)]＝12a＋b＋c.(4)AQ→＝AC→＋CQ→＝AC→＋45CA′→＝AC→＋45(AA′→－AC→)＝15AC→＋45AA′→＝15(AB→＋AD→)＋45AA′...
