3．2均值不等式1.了解均值定理的证明过程，会用均值定理解决简单的最大(小)值问题．2．重点是均值定理的推导及其应用．3．难点是均值定理在实际中的应用．学习目标第一课时课堂互动讲练知能优化训练第一课时课前自主学案课前自主学案温故夯基两数差的平方公式为：(a－b)2＝____________；由(a－b)2≥0，则a2＋b2≥2ab，对于a，b∈R都成立．a2＋b2－2ab知新益能2ab1．算术平均值如果a，b∈R＋，那么________叫做这两个正数的算术平均值．2．几何平均值如果a，b∈R＋，那么_______叫做这两个正数的几何平均值．3．重要不等式如果a，b∈R，则a2＋b2≥_______(当且仅当a＝b时，取“＝”)；a＋b2ab均值定理：如果a，b∈R＋，那么a＋b2≥_____(当且仅当a＝b时，取“＝”)．均值定理可以叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．均值定理所表述的不等式通常称为均值不等式，也称它为基本不等式．ab思考感悟基本不等式中的a，b可以是值为任意正数的代数式吗？提示：可以．4．变式形式(1)ab≤a2＋b22；(2)_____≤a＋b22；(3)ba＋ab≥____(ab>0)；(4)a＋b22≤______________；(5)____________≤2a2＋b2.上述不等式中等号成立的充要条件均为_____.ab2a＋ba＝ba2＋b22课堂互动讲练利用均值不等式比较大小例例11已知：a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，试比较a2＋b2＋c2，ab＋bc＋ca，13的大小．【分析】变形利用不等式找出a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小，结合条件a＋b＋c＝1再找两代数式与13的关系，从而确定它们的大小．【解】 a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc，①∴a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc.①式两边分别加上a2＋b2＋c2得：3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2≥13，3(ab＋bc＋ca)≤a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2＝1，∴ab＋bc＋ca≤13.综上知，a2＋b2＋c2≥13≥ab＋bc＋ca.【点评】要想运用均值不等式，必需把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合不等式条件．化归的方法是把题目给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换，讲究一个巧字，根据问题的具体情况把待求的数或式拆配的恰到好处，才能顺利地进行运算．自我挑战1已知a，b是正数，试比较21a＋1b与ab的大小．解： a，b∈R＋，∴1a＋1b≥21ab，∴21a＋1b≤221ab＝ab.利用均值不等式证明不等式例例22已知a、b、c是正实数，求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.【分析】由于要证的不等式两边都是三项，而我们掌握的均值不等式只有两项，所以可以考虑多次使用均值不等式．【证明】 a、b、c是正实数，∴bca＋acb≥2bca·acb＝2c(当且仅当bca＝acb，即a＝b时，取等号)；acb＋abc≥2acb·abc＝2a(当且仅当acb＝abc，即b＝c时，取等号)；abc＋bca≥2abc·bca＝2b(当且仅当bca＝abc，即a＝c时，取等号)．上面3个不等式相加得2·bca＋2·acb＋2·abc≥2a＋2b＋2c(当且仅当a＝b＝c时，取等号)．∴bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.【点评】对于证明多项和的不等式时，可以考虑先分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加(乘)得结论．另外对于与“三项和”有关的不等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和”处理．同时应用均值不等式时要注意看是否符合条件．自我挑战2已知a、b、c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9.证明：欲证不等式的右边为常数9，故将不等式的左边进行恰当的变形．1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．(1)已知a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)；(2)设a，b，c都是正数，求证：12a＋12b＋12c≥1b＋c＋1c＋a＋1a＋b.例例33【分析】(1)由不等式两边的结构特点，联想重要不等式x2＋y2≥2xy及变形式x2＋y22≥(x＋y2)2(x，y∈R＋)．(2)先重新组合，后利用基本不等式．【证明】(1) a2＋b2≥2ab，两边加上a2＋b2，得2(a2＋b2)≥(a＋b)2，即a2＋b2≥22(a＋b)．同理有：b2＋c2≥22(b＋c),c2＋a2≥22(c＋a)．以上三式相加即得：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．当a＝b＝c时取等...
