第4讲不等式【高考真题感悟】(2010·山东)若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是__________．解析 a≥xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3对任意x>0恒成立，设u＝x＋1x＋3，∴只需a≥1u恒成立即可． x>0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．由u≥5知0<1u≤15，∴a≥15.15，＋∞考题分析本题以不等式恒成立为背景考查了基本不等式、二次不等式恒成立等问题．若将问题转化为求xx2＋3x＋1的最大值，可作如下变形：xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤15；若将问题转化为：ax2＋(3a－1)x＋a≥0对任意x恒成立，则利用二次不等式恒成立解决．体现了转化与化归的数学思想方法．易错提醒(1)忽视不等号方向的变化，易错答为：(－∞，15]．(2)在利用基本不等式时，要注意验证正、定、等．(3)在研究ax2＋(3a－1)x＋a≥0对任意x>0恒成立时，易忽略对对称轴x＝－3a－12a<0的约束．主干知识梳理1．不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔b
b，b>c⇒a>c.(3)加法法则：a>b⇔a＋c>b＋c.(4)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc.a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．2．一元二次不等式的解法解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，可利用一元二次方程，一元二次不等式和二次函数间的关系．一元二次不等式的解集如下表所示：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集{x|x>x2或x0)的解集{x|x10(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；②变形⇒f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.(2)简单指数不等式的解法①当a>1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；②当0ag(x)⇔f(x)1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0；②当0logag(x)⇔f(x)0，g(x)>0.4．几个重要不等式(1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)．(2)a2＋b2≥2ab(a∈R)．(3)a＋b2≥ab(a>0，b>0)．(4)ab≤(a＋b2)2(a，b∈R)．(5)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b(a>0，b>0)．5．不等式的证明基础(1)不等式定义：a－b>0⇔a>b，a－b＝0⇔a＝b，a－b<0⇔a0，b>0)．③几个常用不等式：a＋1a≥2(a>0，当a＝1时等号成立)；2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)；|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|；|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.热点分类突破题型一一元二次不等式例1解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0.思维启迪不等式的左端可以先分解因式，然后根据a>0，a＝0，a<0的情况和方程ax2－(2a＋1)x＋2＝0两个根的大小进行分类求解．解不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0，即(ax－1)(x－2)<0.(1)当a>0时，不等式可以化为x－1a(x－2)<0.①若02，此时不等式的解集为2，1a；②若a＝12，则不等式为(x－2)2<0，不等式的解集为∅；③若a>12，则1a<2，此时不等式的解集为1a，2.(2)当a＝0时，不等式即－x＋2<0，此时不等式的解集为(2，＋∞)．(3)当a<0时，不等式可以化为x－1a(x－2)>0.由于1a<2，故不等式的解集为－∞，1a∪(2，＋∞)．综上所述，当a<0时，不等式的解为－∞，1a∪(2，＋∞)；当a＝0时，不等式的解集为(2，＋∞)；当012时，不等式的解集为1a，2.探究提高本题的分类首先根据a>0，a＝0，a<0进行一级分类．这个分类标准是根据不等式的性质进行分类．在第一种情况下，又要根据方程ax2－(2a＋1)x＋2＝0根的大小，进行二级分类，这个分类标准是根据不等式的求...
