能够根据点到直线的距离公式(或一元二次方程的判别式)判定直线与圆的位置关系/解决求圆的切线和弦长等问题第34课时直线与圆的位置关系1．研究直线与圆的位置关系最常用的方法①判别式法；②圆心到直线的距离与半径的大小关系．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有三种，若d＝，则d>r⇔相离⇔Δ<0；d＝r⇔相切⇔Δ＝0；d0.2．过圆上一点的切线方程已知P(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2上一点，过P(x0，y0)点圆的切线方程是.思考：圆与圆的位置关系有几种，怎样判定？答案：圆与圆的位置关系有五种，分别是外离、外切、相交、内切、内含，可用两点间的距离公式判断两圆心距离和两圆半径之间的关系．x0x＋y0y＝r21．已知直线mx＋3y－4＝0与圆(x＋2)2＋y2＝5相交于两点A、B，若|AB|＝2，则m的值是()解析：由已知弦长，可知圆心到直线的距离为d＝＝2，利用点到直线的距离公式代入即可求得．答案：B2．如图，从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()解析：tan∠APC＝，则cos∠APB＝.答案：B3．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是()解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18.如图，由，得a2＋b2＋2ab＝0.解得－＝2－，或.则直线l的倾斜角范围是．答案：B4.过点P(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.解析：如图，kPC＝，∴k＝.答案：1.若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过P(x0，y0)点的切线方程为x0x＋y0y＝r2.2．过点P(x0，y0)作圆C的切线，若点在圆上切线有一条；若点在圆外切线有两条．求过P(x0，y0)点与圆C相切的直线方程的方法大致有两种：①判别式法；②更多的是使用点到直线的距离公式使圆心到切线的距离等于圆的半径．【例1】自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，如图所示，求光线l所在的直线方程．解答：解法一：设入射光线l所在直线方程为y－3＝k(x＋3)． 点A关于x轴对称点为A′(－3，－3)，∴反射光线所在直线经过点A′.又 光线的入射角等于反射角，∴反射光线所在直线的方程为kx＋y＋3k＋3＝0， 反射光线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，∴＝1，解之得k＝.∴入射光线l所在直线方程为：y－3＝－(x＋3)或y－3＝－(x＋3)，即3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.解法二：圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴的对称圆C′的方程为x2＋y2－4x＋4y＋7＝0.因入射光线经x轴反射后与圆C相切，则入射光线所在直线与圆C′相切．设：l：y－3＝k(x＋3)即kx－y＋3k＋3＝0. 圆C′的圆心(2，－2)到l距离与半径相等，∴＝1，∴k＝，∴入射光线所在直线方程3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.变式1.点P(－3,1)在椭圆＝1(a＞b＞0)的左准线上，过点P且方向向量为a＝(2，－5)的光线经直线y＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为()解析：本题考查椭圆的有关概念，直线的方向向量，光线反射定律及有关的计算．由题意－＝－3，∴a2＝3c；又点P(－3,1)关于直线y＝－2的对称点为P′(－3，－5)，椭圆左焦点为F(－c,0)，由光的反射定律，反射光线经过点P′和F且其方向向量为(2,5)， ＝(－c＋3,5)，∴－c＋3＝2⇒c＝1，又a＝c＝，∴e＝.故选A项．答案：A已知点P(x，y)在圆上，求形如x＋y，的最值等问题，可类似于解线性规划问题，利用其几何意义将问题转化为圆的切线问题．解答：(1)如图，若直线l过原点，设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.由＝，解得k＝±.则直线l的方程为x－y＝0或x＋y＝0；【例2】已知圆C：(x－2)2＋y2＝3，直线l与圆C相切并且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．(2)若直线l不过原点，设l的方程为＝1，即x＋y－a＝0.由，解得a＝2±.则直线l的方程为x＋y－2＋＝0，或x＋y－2－＝0.综上所知所求直线有四条，方程分别为x－y＝0，x＋y＝0，x＋y－2＋＝0，x＋y－2－＝0.变式2.已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝1上任意一点，求：(1)x＋2y的最大值；(2)t＝的取值范围．解答：(1)设与x＋2y＝0平行的直线的方程为x＋2y＋C＝0.由＝...
