第三节函数的单调性与最值重点难点重点：①函数单调性的定义．②函数的最大(小)值．难点：①函数单调性的证明．②求复合函数单调区间．知识归纳一、单调性定义1．单调性定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，若对于任意的x1，x2∈D，当x1f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数．2．证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明．(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x10，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数．二、单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则1fx为减(增)函数，fx为增(减)函数．3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．三、函数单调性的应用有：(1)比较函数值或自变量值的大小．(2)求某些函数的值域或最值．(3)解证不等式．(4)作函数图象．四、函数的最大(小)值：1．定义：一般地，设函数y＝f(x)定义域为Ⅰ，如果存在实数M满足：(1)对任意x∈Ⅰ，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；(2)存在x0∈Ⅰ，使得f(x0)＝M.称M是函数y＝f(x)的最大(或最小)值．2．求法：(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法．误区警示1．对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点(1)函数的单调性是对某一个区间而言的．f(x)在区间A与B上都是增(或减)函数，在A∪B上不一定单调．(2)单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替．2．在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域3．注意f(x)在区间A上单调增与f(x)的单调增区间为A的区别．一、利用复合函数的单调性解题对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么函数y＝f[g(x)]在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域.t＝g(x)y＝f(t)y＝f[g(x)]增增增增减减减增减减减增二、解题技巧1．给出抽象函数关系式，讨论其性质的题目，基本方法是赋值用定义讨论．如判断单调性，须创造条件判断f(x1)－f(x2)的符号或fx1fx2与1的大小；判断奇偶性须设法产生f(－x)与f(x)的关系式等．判断单调性时，若关系式中含有常数，应设法利用所给条件，把常数化为函数值的形式．2．由于定义都是充要性命题，因此若f(x)是增(或减)函数，则f(x1)x2)．[例1]求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性．(1)y＝|x|(1－x)(2)y＝(13)x2－x(3)y＝log2(6＋x－2x2)求函数的单调区间解析：(1) f(x)＝|x|(1－x)＝－x2＋xx≥0x2－xx<0，可得函数f(x)在区间(－∞，0]及[12，＋∞)上为减函数，在区间[0，12]上为增函数．(2)设t＝x2－x＝(x－12)2－14， t＝(x－12)2－14在(－∞，12]上为减函数，在[12，＋∞)上为增函数．又y＝(13)t在(－∞，＋∞)上为减函数，∴y＝(13)x2－x的单调增区间为(－∞，12]，单调减区间为[12，＋∞)．(3)由6＋x－2x2>0，得－320得－3
