高中数学 不等式证明(二)课件 苏教版必修5 课件VIP免费

“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。例一、求证：5273证：∵052,073只需证明：22)52()73(展开得：2021210即：102125215273综合法：∵21<2552110212202121022)52()73(5273即：21<25（显然成立）分析法例二、已知：a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0证一：（综合法）∵a+b+c=0∴(a+b+c)2=0展开得：2222cbacabcab∴ab+bc+ca≤0证二：（分析法）要证ab+bc+ca≤0∵a+b+c=0故只需证ab+bc+ca≤(a+b+c)2即证：0222cabcabcba即：0])()()[(21222accbba（显然）∴原式成立证三：∵a+b+c=0∴c=a+b∴ab+bc+ca=ab+(a+b)c=ab(a+b)2=a2b2ab=0]43)2[(22bba例二、已知：a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0例三、证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。证：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为2l，截面积为22l，周长为l的正方形边长为4l，截面积为24l问题只需证：>22l24l即证>224l162l两边同乘24l，得：411因此只需证：4>（显然成立）∴>也可用比较法（取商）证，也不困难。22l24l例一、求证：211212xx一、三角换元证二：（换元法）∵11x∴令x=cos,[0,]2sin21sincos12xx则12sin1211212xx小结：若0≤x≤1，则可令x=sin(20)或x=sin2(22)。若122yx，则可令x=cos,y=sin(20)。若222ryx，则可令x=rcos,y=rsin(20)。练习：若122yx，求证：2|2|22yxyx证：设)10(,sin,cosrryrx，则|sinsincos2cos||2|2222222rrryxyx2242cos2|2sin2cos|222rrr二、放缩法：21caddbdccacbbdbaa例一、若a,b,c,dR+，求证：证：记m=caddbdccacbbdbaa∵a,b,c,dR+1cbaddbadccdcbabdcbaam2cdddccbabbaam∴141,(1b)c>41,(1c)a>41,同时成立。则三式相乘：(1a)b•(1b)c•(1c)a>641①又∵0