§13.2导数的应用导数的应用考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考课时闯关·决战高考13.2双基研习·面对高考基础梳理基础梳理1．函数的单调性与导数的符号的关系(在某个区间上)导数f′(x)的符号函数f(x)的单调性f′(x)>0在该区间内为_______f′(x)<0在该区间内为_______f′(x)＝0在该区间内为_________增函数减函数常数函数2.函数的极值与最值的辨析(1)定义设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)__f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)__f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．<>(2)判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是______．②如果在x0附近的左侧_______，右侧_______，那么f(x0)是极小值．极大值f′(x)<0f′(x)>0(3)函数的最大值与最小值在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如f(x)＝1x，x∈(0，＋∞)．思考感悟1．如果f(x)在其定义域内恒有f′(x)>0，则f(x)是否一定是其定义域上的增函数？为什么？提示：不一定．因为导数研究的函数的单调性是一个区间概念，如果定义域为一个连续的区间，则一定是增函数，反之，则不一定是增函数，如f(x)＝－1x在其定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内恒有f′(x)>0，f(x)在每个区间上都是递增的，但f(x)不是增函数．2．对于函数y＝x3，在x＝0处能取得极值吗？提示：在x＝0处不能取得极值．因为f′(x)＝3x2≥0恒成立．在x＝0两侧单调性没发生变化．课前热身课前热身1．(教材例题改编)函数f(x)＝2x3－6x＋7的极大值为()A．1B．－1C．3D．11答案：D2．函数y＝x－x3的单调递增区间是()A．(－∞，－1)，(1，＋∞)B．(－1,1)C．(－∞，－33)，(33，＋∞)D．(－33，33)答案：D3．函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3,0]上的最大值、最小值分别是()A．1，－1B．1，－17C．3，－17D．9，－19答案：C4．f(x)＝x(x－b)2在x＝2处有极大值，则常数b的值为______．答案：65．函数f(x)＝x3－ax的减区间为(－2,2)，则a的值是________．答案：12考点探究·挑战高考用导数研究函数的单调性考点突破考点突破若函数f(x)为连续函数，使f′(x)>0的x的取值区间为f(x)的增区间；使f′(x)<0的x的取值区间为f(x)的减区间，注意定义域．例例11设函数f(x)＝13x3－a2＋22x2＋(a2＋1)x＋6，求f(x)的单调区间．【思路分析】求f′(x)，并求解不等式f′(x)>0及f′(x)<0.【解】f′(x)＝x2－(a2＋2)x＋(a2＋1)＝(x－1)[x－(a2＋1)]． a2＋1≥1，∴当a＝0时，f′(x)≥0，∴f(x)在R上为增函数；当a≠0时，a2＋1>1，∴f′(x)>0时，x>a2＋1或x<1；f′(x)<0时，1
1时，f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：方法感悟方法感悟x(－∞，0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗由上表可知：当x＝0时，f(x)有极大值f(0)且f(0)＝1；当x＝a－1，f(x)有极小值f(a－1)且f(a－1)＝1－(a－1)3.综上所述：当a＝1时，f(x)没有极值；当a>1时，f(x)的极大值为f(0)＝1.【思维总结】f′(x0)＝0只是x0为极值的必要条件．务必有在x0两侧f(x)单调发生变化，才能确定f(x0)为极值点．互动探究1若本例中的函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，在x＝0...
