第15讲圆锥曲线的标准方程与性质第第1515讲圆锥曲线的标讲圆锥曲线的标准方程与性质准方程与性质主干知识整合第15讲│主干知识整合1．圆锥曲线的定义2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆(或双曲线)的标准方程求椭圆(或双曲线)标准方程的基本步骤是“三定”：①定型，即确定它是哪类曲线；②定位，即判断它的焦点在哪条坐标轴上；③定量，即建立关于基本量的方程或方程组，解得基本量a、b的值．另外，求双曲线的方程，要注意条件给出的信息，明确是求整个双曲线的标准方程还是求双曲线某一支的方程．(2)抛物线的标准方程一般有两种常见的解题方法：①焦点定位法，即由焦点所在的坐标轴确定抛物线的开口方向，设出抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小；②待定系数法，即先设出抛物线一般形式的方程y2＝2λx(λ∈R且λ≠0)或x2＝2λy(λ∈R且λ≠0)，然后建立方程求出参数λ的值.第15讲│主干知识整合3．圆锥曲线的几何性质(1)椭圆的几何性质①椭圆的图形特点：“四线”(两条对称轴、两条准线)和“六点”(两个焦点、四个顶点)．②几何量的意义与关系：理解长轴和短轴、离心率、准线、焦准距、焦点弦等几何量；理解几何量之间的关系，如a2＝b2＋c2，a＞b＞0，e＝ca等．(2)双曲线的几何性质①双曲线的图形特点：“六线”(两条对称轴、两条准线和两条渐近线)和“四点”(两个焦点、两个顶点)．②几何量的意义与关系：理解实轴和虚轴、离心率、准线、渐近线、焦准距、焦点弦等几何量；理解几何量之间的关系，如c2＝a2＋b2，e＝ca等.(3)抛物线的几何性质①抛物线的图形特点：“两线”(一条对称轴、一条准线)和“两点”(一个焦点、一个顶点)．②几何量的意义与关系：理解焦点、准线、离心率、焦准距、焦点弦等几何量；理解焦点弦的性质．要点热点探究第15讲│要点热点探究►探究点一椭圆的标准方程与性质例1[2011·江西卷]若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点1，12作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．【分析】画出图形进行分析，先求出两切点坐标，再分别求切线与两坐标轴的交点即为椭圆的右焦点和上顶点，继而可求出b和c.第15讲│要点热点探究x25＋y24＝1【解析】由题可知过点1，12与圆x2＋y2＝1的圆心的直线方程为y＝12x，由垂径定理可得kAB＝－2.显然过点1，12的一条切线为直线x＝1，此时切点记为A(1,0)，即为椭圆的右焦点，故c＝1.由点斜式可得，直线AB的方程为y＝－2(x－1)，即AB：2x＋y－2＝0.令x＝0得上顶点为(0,2)，∴b＝2，∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为x25＋y24＝1.【点评】在求圆的两条切线时，其中一条斜率不存在，要注意讨论．数形结合的运用是可以避免这类错误出现的．第15讲│要点热点探究(1)若点P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上一点，且PF1→·PF2→＝0，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率e＝()A.53B.23C.13D.12(2)设θ是△ABC的一个内角，且sinθ＋cosθ＝713，则x2sinθ－y2cosθ＝1表示()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线第15讲│要点热点探究(1)A(2)B【解析】(1)因为PF1→·PF2→＝0，即PF1⊥PF2，所以PF12＋PF22＝4c2，又因为tan∠PF1F2＝12，所以PF1＝2PF2.由椭圆的定义知：PF1＋PF2＝2a，即3PF2＝2a，即PF2＝23a，代入PF12＋PF22＝4c2，解得e＝ca＝53.(2)因为θ∈(0，π)，且sinθ＋cosθ＝713，所以θ∈π2，π，且sinθ＞|cosθ|，所以θ∈π2，3π4，从而cosθ＜0，从而x2sinθ－y2cosθ＝1表示焦点在y轴上的椭圆．第15讲│要点热点探究►探究点二双曲线的标准方程与性质例2[2011·山东卷]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1C.x23－y26＝1D.x26－y23＝1第15讲│要点热点探究【分析】根据圆心坐标可以求得双曲线的一个焦点坐...
