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第4节二次函数、幂函数(对应学生用书第16页)(对应学生用书第16～17页)1．二次函数的定义与解析式(1)定义函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数．(2)表示形式①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线顶点坐标；③零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标．2．二次函数的图象与性质(1)二次函数在闭区间上的最值问题：当a>0时，f(x)在区间[p，q]上的最大值为M，最小值为m，令x0＝12(p＋q)．①若－b2a0恒成立的充要条件是a>0Δ<0；②ax2＋bx＋c<0恒成立的充要条件是a<0Δ<0.3．幂函数的概念形如y＝xα的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．质疑探究：幂函数与指数函数有何不同？y＝(x＋1)3，y＝x3－1，y＝x是幂函数吗？提示：幂函数与指数函数的本质区别就在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．在所给的三个函数中只有y＝x是幂函数．1．(2010年高考安徽卷)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(D)解析：由abc>0知，当c>0时ab>0，∴f(0)＝c>0，对称轴x＝－b2a<0无对应选项；当c<0时，ab<0，∴f(0)＝c<0，对称轴x＝－b2a>0，由图象选D.2．下列函数中是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是(D)(A)f(x)＝x3(B)f(x)＝x－2(C)f(x)＝x12(D)f(x)＝x23解析：f(x)＝x3是奇函数，f(x)＝x12是非奇非偶函数，故A、C均错；又f(x)＝x－2虽是偶函数，但在(0，＋∞)上递减，故B错，只有D正确．3．(教材改编题)已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(C)(A)[1，＋∞)(B)[0,2](C)[1,2](D)(－∞，2]解析：因为二次函数的解析式已确定，而区间的左端点也确定，且要使函数在区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，画出草图来观察，如图． f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，且f(0)＝3，f(1)＝2，f(2)＝3，可知只有当m∈[1,2]时，才能满足题目的要求．故选C.4．(教材改编题)当α∈{－1，12，1,3}时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．解析：当x>0时，y>0，故函数y＝xα的图象一定不过第四象限；当x<0时，y<0或无意义，故函数y＝xα的图象不经过第二象限，因此幂函数的图象不可能经过二、四象限．答案：二、四(对应学生用书第17～18页)幂函数的概念【例1】(2010年苏州六校联合调研)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()(A)－3(B)1(C)2(D)1或2思路点拨：依幂函数定义及性质求出n的值逐一检验即可．解析：由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或－3，经检验只有n＝1适合题意，故选B.(1)幂函数的形式是y＝xα，其中只有参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.二次函数的图象与性质【例2】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．思路点拨：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|...

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