第三节二项式定理（理）一、二项式定理1．展开式(a＋b)n＝所表示的定理叫做二项式定理．2．通项：Tk＋1＝为第项．k＋1(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？提示：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．二、二项式系数1．定义：式子叫做二项式系数．2．性质(3)对称性：2n(4)二项式系数最值问题．①当n为偶数时，中间一项最大；②当n为奇数时，中间两项，相等且最大．三、项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数不同.1．的展开式中x2的系数为()A．10B．5C.D．1解析： 含x2的项为∴x2的系数为答案：C2．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A．10B．20C．30D．120解析：二项式系数之和2n＝64，则n＝6，Tk＋1＝·x6－k·＝，当6－2k＝0时，即k＝3时为常数项，T3＋1＝＝20.答案：B3．(1＋x)2n(nN∈*)的展开式中，系数最大的项是()A．第＋1项B．第n项C．第n＋1项D．第n项与第n＋1项解析：(1＋x)2n的展开式中，各项系数等于对应的二项式系数，故系数最大的项是第n＋1项．答案：C4．若(ax2－)9的展开式中常数项为84，则a＝________，其展开式中二项式系数之和为________．(用数字作答)解析：二项式(ax2－)9的通项公式为·a9－k·x18－2k·(－1)k·x－k＝(－1)k·a9－k·x18－3k，令18－3k＝0可得k＝6，即得常数项为(－1)6·a9－6＝84a3＝84，解之得a＝1.其展开式二项式系数和为29＝512.答案：15121x5．已知(ax－)n的展开式的第五项是常数项，则n＝______.解析：由∴n－8＝0⇒n＝8.答案：8二项展开式的通项公式Tk＋1＝an－kbk(k＝0,1,2，…，n)集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数以及数、式的整除等方面有着广泛的应用．使用时要注意：knC(1)通项公式表示的是第“k＋1”项，而不是第“k”项；(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；(3)展开式中第k＋1项的二项式系数与第k＋1项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出差错．knC已知在()n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．利用通项公式可求,注意运算.【解】(1)通项公式为因为第6项为常数项，所以k＝5时，有＝0，即n＝10.(2)令得k＝(n－6)＝2，∴所求的系数为，(3)根据通项公式，由题意得令＝r(rZ)∈，则10－2k＝3r，即k＝5－ kZ∈，∴r应为偶数，∴r可取2、0、－2，即k可取2、5、8.所以第3项，第6项与第9项均为有理数，它们分别为1．(1)(2010·东北四市联考)在(x＋1)7(1－)7的展开式中，x3项的系数为()A．－35B．35C．－21D．21(2)设a＝(sinx＋cosx)dx，则二项式(a)6展开式中含x2的项的系数是________．1x解析：(1)(x＋1)7∴含x3项的系数为(2)因为a＝(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)＝2，所以二项式()6展开式的通项是(－1)k26－k令3－k＝2，得k＝1，所以含x2的项的系数是－192.答案：(1)D(2)－192=21x3.1．对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m、(a、b、cR)∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，bR)∈的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a7＋a6＋…＋a1；(2)a7＋a5＋a3＋a1；(3)a6＋a4＋a2＋a0.所求结果与各项系数有关，可以考虑用“特殊值”法，即“赋值法”整体解决.【解】(1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①∴a7＋a6＋…＋a1＝129.(2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由得：a7＋a5＋a3＋a1＝[128－(－4)7]＝8256.(3)由得a6＋a4＋a2＋a0＝[128＋(－4)7]＝－8128.2．在本例条件求|a1|＋|a2|＋…＋|a7|解： (3x－1)7展开式中，a7、a5、a3、a1均大于零，而a6、a4、a2、a0均小于零，∴|a7|＋|...
