知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练第18讲导数的概念与运算知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理1.导数的概念与运算(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔx→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑓(x0+Δx)-𝑓(x0)Δx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)=limΔx→0Δ𝑦Δx=limΔx→0𝑓(x0+Δx)-𝑓(x0)Δx.(2)函数f(x)的导函数称函数f'(x)=limΔx→0𝑓(x+Δx)-𝑓(x)Δx为f(x)的导函数.(3)基本初等函数的导数公式原函数sinxcosxax(a>0)exlogax(a>0,且a≠1)lnx导函数cosx-sinxaxlnaex1x𝑙𝑛a1x知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理(4)导数运算法则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);ቂ𝑓(x)𝑔(x)ቃ'=𝑓'(x)𝑔(x)-𝑓(x)𝑔'(x)[𝑔(x)]2(g(x)≠0).(5)复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.(6)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).特别地,如果曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线垂直于x轴,则此时导数f'(x0)不存在,由切线定义可知,切线方程为x=x0.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理2.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间(1)函数的单调性在(a,b)内函数f(x)可导,f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f'(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数.f'(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数.(2)辨明导数与函数单调性的关系(1)f'(x)>0(或<0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件;(2)f'(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件.【注意】由函数f(x)在区间[a,b]内单调递增(或递减),可得f'(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立,而不是f'(x)>0(或<0)恒成立,“=”不能少.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理3.利用导数解决函数的极值问题(1)函数的极小值函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近的其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则点x=b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.(3)函数的极值极小值点和极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理4.函数的最值与导数(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值,函数的最大值和最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:①求f(x)在(a,b)内的极值;②将f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式题型一导数的运算【例1】分别求下列函数的导数:(1)y=ex·cosx(2)y=xቀx2+1x+1x3ቁ(3)y=x-sinx2cosx2【解析】(1)y'=(ex)'·cosx+ex(cosx)'=ex·cosx-exsinx(2)y=x3+1+1x2,∴y'=3x2-2x3(3)y=x-sinx2cosx2=x-12sinx∴y'=ቀx-12sinxቁ'=1-12cosx.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【规律方法】知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式变式训练一1.分别求下列函数的导数.(1)y=lnxx.(2)y=sin2x2.解:(1)y'=ቀln𝑥𝑥ቁ'=(ln𝑥)'·𝑥-𝑥'ln𝑥𝑥2=1-ln𝑥𝑥2.(2) y=sin2𝑥2=12(1-cosx)=12−12cosx∴y'=-12(cosx)'=-12·(-sinx)=12sinx.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式题型二导数的几何意义及应用考法一求切线方程【例2-1】(1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处...
