第四节椭圆重点难点重点：椭圆的定义、标准方程及几何性质．难点：椭圆的几何性质及其应用，椭圆方程的求法．知识归纳1．椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)x2b2＋y2a2＝1(a>b>0)图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)轴长轴长2a，短轴长2b性质离心率e＝ca(00，b>0)中，|x|≤a，|y|≤b的范围在求有关最值时不要漏掉．一、函数与方程的思想、待定系数法1．在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其它量的函数，运用函数的方法解决．2．求椭圆方程时，焦点位置不明确要分类讨论．3．求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几何特征，确定形状，设出其标准方程，然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数．要注意解题过程中，设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方程根与系数的关系求解．二、解题技巧1．求椭圆的方程主要有定义法和待定系数法，运用待定系数法求方程时，当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x2m＋y2n＝1(m>0，n>0)，可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)，这种形式在求解过两定点的椭圆方程时更简便．2．焦点三角形问题椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形．习惯上称作焦点三角形，在焦点三角形中命制题目是常见命题方式，解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手：①定义②正、余弦定理③三角形面积．3．求椭圆的离心率时，常常要列出a，b，c的一个齐次方程，结合b2＝a2－c2，两边同除以a2化为e(e＝ca)的二次方程求解．4．椭圆上点M到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.[例1]已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m等于()A．4B．8C．4或8D．以上都不对椭圆的标准方程分析：方程表示椭圆时，分母都大于0，又未指出焦点在哪个轴上，故应分类讨论，依据焦距为4列方程求解．解析：当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，∴6b>0)， e＝22，∴ca＝22，根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，∴c＝22，b2＝a2－c2＝8，所以椭圆方程为x216＋y28＝1.答案：x216＋y28＝1(文)已知F1、F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.解析：(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20，∴|AB|＝8.答案：8(理)(2010·浙江台州)已知点M(3，0)，椭圆x24＋y2＝1与直线y＝k(x＋3)交于点A、B，则△ABM的周长为()A．4B．8C．12D．16解析：直线y＝k(x＋3)过定点N(－3，0)，而M、N恰为椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8.答案：B[例3](文)(2010·南昌市模拟)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于()A.513B.1213C.35D.45椭圆的离心率解析：设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、b、c，则由条件知，b＝6，a＋c＝9或a－c＝9，又b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝36，故a＋c＝9a－c＝4，∴a＝132c＝52，...
