高考数学一轮总复习名师精讲 第14讲等差数列课件VIP专享VIP免费

第十四讲等差数列回归课本1.如果数列{an}从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差．即an－an－1＝d(n∈N*，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N*)或an＝a1，n＝1，an－1＋d，n≥2.，其中d为公差．2．若{an}是等差数列，则其通项公式an＝a1＋(n－1)d或变式为an＝am＋(n－m)d(n≠m)，其中m，n∈N*，则d＝an－a1n－1(n≠1)或d＝an－amn－m(n≠m)．①{an}成等差数列⇔an＝pn＋q，其中p＝d，q＝a1－d，点(n，an)是直线y＝dx＋(a1－d)上的一群孤立的点．②单调性：d＞0时，{an}为单调递增数列；d＜0时，{an}为单调递减数列；d＝0时，{an}为常数列．③等差中项：若a，b，c是等差数列，则称b是a，c的等差中项，且b＝a＋c2，故a，b，c成等差数列⇔2b＝a＋c.3．求和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－1d2.其推导方法是倒序相加法．若n为奇数，则Sn＝n·a1＋an2＝na中＝nan＋12；求和公式又可变形为Sn＝pn2＋qn，其中p＝d2，q＝a1－d2.即{an}成等差数列⇔Sn＝pn2＋qn；Snn＝a1＋(n－1)·d2说明{Snn}是以a1为首项，d2为公差的等差数列，或点n，Snn在直线y＝a1＋(x－1)·d2上；点(n，Sn)是在抛物线y＝px2＋qx的图象上的一群孤立的点．4．若三数成等差数列，则可设为a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；若四数成等差，则设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，其公差为2d.5．{an}成等差数列，求Sn的最值；若a1＞0，d＜0，且满足an≥0，an＋1≤0，时Sn最大；若a1＜0，d＞0，且满足an≤0，an＋1≥0，时，Sn最小；或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．6．a1＋an＝a2＋an－1…＝＝am＋an＋1－m，即若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.若{an}，{bn}成等差数列，则{man＋kbn}仍是等差数列，其中m，k为常数；等差数列{an}中，抽出间隔相同的项按原来的顺序组成的新数列仍是等差数列．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，公差是m2d.若{an}共有2n－1(n∈N*)项，则S奇－S偶＝an＝S2n－12n－1，S奇S偶＝nn－1；若{an}共有2n(n∈N*)项，则S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1.等差数列{an}中，若an＝m，am＝n(m，n∈N*且m≠n)，则am＋n＝0；若Sn＝m，Sm＝n(m，n∈N*，且m≠n)则Sm＋n＝－(m＋n)．若Sn＝Sm(m，n∈N*，且m≠n)，则Sm＋n＝0.考点陪练1.已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝()A．138B．135C．95D．23答案：C解析： a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，∴(a5－a4)＋(a3－a2)＝2d＝6，∴d＝3.又a2＋a4＝2a1＋4d＝4，∴a1＝－4.∴S10＝10a1＋1010－12d＝－40＋45×3＝95.2．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6，那么a10等于()A．－165B．－33C．－30D．－21解析：由ap＋q＝ap＋aq，a2＝－6，得a4＝a2＋a2＝－12，同理a8＝a4＋a4＝－24，所以a10＝a8＋a2＝－24－6＝－30.答案：C3．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()A．4B．5C．6D．7解析： {an}为等差数列，∴a2＋a8＝2a5＝12，则a5＝6.答案：C4．(2011·广东肇庆一模)等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，当a1、d变化时，若a2＋a8＋a11为定值，那么下列各数中也为定值的是()A．S7B．S8C．S13D．S15解析：由a2＋a8＋a11＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，所以S13＝a1＋a132×13＝13a7(定值)．答案：C5．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A．5B．4C．3D．2答案：C解析：解法一：S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，①S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15.②①－②得15＝5d，∴d＝3.解法二： n＝10，∴S偶－S奇＝n2d＝5d＝15，∴d＝3.类型一等差数列的判断与证明解题准备：等差数列的判定方法主要运用以下几个充要条件：1．an－an－1＝d(n≥2，d为常数)⇔{an}是公差为d的等差数列．2．2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔{an}是等差数列．3．an＝kn＋b(k，b为常数)⇔{an}是等差数列．4．Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．【典例1】设实数a>0，且函数f(x...