高考数学 6.4 数列的通项及数列求和总复习课件VIP免费

要点梳理1.若已知数列{an}，满足an+1-an=f（n），且f（1）+f（2）+…+f（n）可求，则可用求数列的通项an.2.若已知数列{an}，满足=f（n），且f(1)·f(2)·…·f（n）可求，则可用求数列的通项an.§6.4数列的通项及数列求和累加法nnaa1累积法基础知识自主学习3.等差数列前n项和Sn==，推导方法：；等比数列前n项和推导方法:乘公比，错位相减法.Sn=，na1=qqan1)1(1qqaan11q=1,q≠1.，2)(1naandnnna2)1(1倒序相加法4.常见数列的前n项和（1）1+2+3+…+n=;（2）2+4+6+…+2n=;（3）1+3+5+…+(2n-1)=;（4）12+22+32+…+n2=;（5）13+23+33+…+n3=.n2+nn22)1(nn6)12)(1(nnn2]2)1([nn5.（1）分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.（2）拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.（3）错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.（4）倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导.6.常见的拆项公式有.111)3();121121(21)12)(12(1)2(;111)1(1)1(nnnnnnnnnnnn基础自测1.已知等比数列{an},a1=3,且4a1、2a2、a3成等差数列，则a3+a4+a5等于（）A.33B.72C.84D.189解析由题意可设公比为q,则a2=a1q,a3=a1q2, 4a2=4a1+a3,∴4a1q=4a1+a1q2,又a1=3,∴q=2.a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=3×4×(1+2+4)=84.C2.如果数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为1，公比为3的等比数列，则an等于（）A.B.C.D.解析a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=an=C213n233n213n233n.21331)31(1nn3.已知数列{an}的通项公式是an=，其中前n项和Sn=，则项数n等于（）A.13B.10C.9D.6解析 an=∴Sn=n-=n-1+而D,211212nnn64321)212121(2nnn212,21n.6,6415211,641564321nnn4.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为（）A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n2-2解析Sn==2n+1-2+n2.C2)121(21)21(2nnn5.数列的前n项和为（）A.B.C.D.解析由数列通项公式得前n项和B,)23()13(1,,1181,851,521nn23nn46nn463nn21nn),231131(31)23()13(1nnnn.46)23121(31)2311311118181515121(31nnnnnSn题型一由递推公式求通项公式【例1】分别求满足下列条件的数列的通项公式.(1)设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）+an+1an=0(n=1,2,3,…);(2)已知数列{an}满足an+1=,a1=2.依据已知数列的递推关系适当地进行变形，可寻找数列的通项的差an-an-1或通项的商的规律.221nnnaa1122nnnnaa思维启迪1nnaa题型分类深度剖析解（1）方法一 数列{an}是首项为1的正项数列,∴anan+1≠0,∴+1=0,令=t,∴(n+1)t2+t-n=0,∴［(n+1)t-n］(t+1)=0,∴t=或t=-1（舍去），即11)1(nnnnanaaannnaa11nn.11nnaann.1,154433221145342312nannaaaaaaaaaannn方法二由（n+1）+an+1an=0,得n()+an+1(an+1+an)=0,即（an+1+an）［(n+1)an+1-nan］=0. an＞0,∴an+1+an≠0,∴(n+1)an+1-nan=0,即221nnnaa221nnaa.11nnaann.1,154433221145342312nannaaaaaaaaaannn（2）将已知递推式化为将以上（n-1）个式子相加得,211111nnnaa,21111,,2111,2111,2111434323212nnnaaaaaaaa.122,211211)211(211,21212121114321nnnnnnnnaaaa探究提高已知递推关系求通项公式这类问题要求不高,主要掌握由a1和递推关系先求出前几项,再归纳、猜想an的方法,以及累加：an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1;累乘：an=等方法.211nnnnaaaa112aaa知能迁移1由已知在数列{an}中a1=1,求满足下列条件的数列的通项公式.（1）an+1=;(2)an+1=2an+2n+1.nnaa21解（1）因为对于一切n∈N*,an≠0,因此由an+1=，得即∴数列是等差数列，(n-1)·2=2n-1,即an=（2）根据已知条件得即∴数列是等差数列.即an=(2n-1)2...