第3讲推理与证明感悟高考明确考向(2010·福建)观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测，m－n＋p＝________.解析观察各式容易得m＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，将m＝512代入得n＋p＋350＝0.对于等式⑤，令α＝60°，则有cos600°＝512·1210－1280·128＋1120·126＋116n＋14p－1，化简整理得n＋4p＋200＝0，联立方程组n＋p＋350＝0，n＋4p＋200＝0，得n＝－400，p＝50.∴m－n＋p＝962.答案962考题分析本题主要考查合情推理的应用．突出考查归纳推理的思路、方法和技巧．体现了对考生观察、抽象归纳和概括能力的考查．易错提醒(1)找不准归纳的对象．如m的位置在最高次幂的系数位置．因而从每一个等式中最高次幂的系数入手进行归纳；p是cos2α的系数，所以从cos2α的系数入手进行归纳．n却不能从cos4α的系数入手进行归纳，因为第①个式子中没有cos4α，缺少归纳的特征项．(2)规律找不准．在cos2α的系数：2，－8,18，－32，p的规律很多考生找不准．事实上，可将各数拆分为1×2，－2×4,3×6，－4×8，即(－1)n＋1·n·(2n)＝(－1)n＋12n2.∴p＝(－1)6·2×52＝50.主干知识梳理1．合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的所有对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②归纳推理的思维过程如下：(2)类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②类比推理的思维过程如下：2．演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般性原理．②小前提——所研究的特殊情况．③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．3．直接证明(1)综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为(2)分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为4．间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用如图所示的框图表示．5．数学归纳法数学归纳法证明的步骤(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论成立，证明n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，结论都成立．热点分类突破题型一归纳推理例1观察下列等式：∑ni＝1i＝12n2＋12n，∑ni＝1i2＝13n3＋12n2＋16n，∑ni＝1i3＝14n4＋12n3＋14n2，∑ni＝1i4＝15n5＋12n4＋13n3－130n，∑ni＝1i5＝16n6＋12n5＋512n4－112n2，∑ni＝1i6＝17n7＋12n6＋12n5－16n3＋142n，……∑ni＝1ik＝ak＋1nk＋1＋aknk＋ak－1nk－1＋ak－2nk－2＋…＋a1n＋a0，可以推测，当k≥2(k∈N*)时，ak＋1＝1k＋1，ak＝12，ak－1＝________，ak－2＝________.思维启迪当k＝2、3、4、5、6时，写出ak－1，ak－2的值，通过观察归纳可得．解析由题意知，当k＝2,3,4,5,6时，ak－1分别为16，14，13，512，12，即212，312，412，512，612.可以推测ak－1＝k12.当k＝2,3,4,5,6时，ak－2分别为0,0,0,0,0.可以推测ak－2＝0.k120探究提高(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象...
