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两个向量的数量积bababa,cos||||或同前平面向量的数量积定义cos||||baba夹角AOBAOB为向量a与b的夹角。模向量AB的长度称为向量AB的模，记作：|AB|空间向量的数量积有哪些性质？满足哪几条运算律？空间向量的数量积投影叫做向量在方向上的投影bacosb2-37-242知识再现：平面向量的数量积(32)(2)abab若与的夹角为，则3,4,abab34(1)（2）设则与的夹角为4,3,12mnmn�m�n（3）已知，且与的夹角是，则在方向上的投影为3,4abab120ba032（4）已知与的夹角为，且则=ab602,a3,babab（5）设，是两个非零向量，则=是的（）abababA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件（6）在中，则ABC3,4,60ABACBAC�BAAC�知识再现：平面向量的数量积c-619l.作点A在l上的射影，作点B在A射影上的射影，则叫做向量AB在轴l上或BBA在e方向上的正射影，简称射影。ABABe即eaeaABBA,cos已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量根据向量的定义,与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积具有如下性质：(证明线线垂直)(求线段的长)•（1）eaaea,cos•（2）0baba•（3）22aaaa•（1）)()(baba•(3)cabacba)((分配律)abba(交换律)•（2）满足以下运算律：nmaB典例分析例一已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线a与的交点为B，且。nama,求证：a证明：在内作不与m、n重合的任一条直线b，在a、序实数对(x,y)，使向量m、n不平行。由共面向量定理可知，存在唯一的有b、m、n上取非零向量a、b、m、n，因m与n相交，得这就证明了直线垂直于平面内的任一条直线,所以anmbyxnamabayx0ma0na0ba即bababamnb如图:已知长方体A的底面是边长为2的正方形,高为1,P,Q,E分别是棱AB,,的中点。1C1B1C1C1D例二1CAPBCD1A1B1DQE(2)求直线与DE所成的角.1C1A(1)求PQ的长.解（1）设11111,,AAaABbADc�11PQPBBBBQ�1122bac2211()22PQbac�222111442bacabbcac==114143443PQ�（2）1122,2ACDE�111()()2,222bcbaCOSACDE�111,2ACbcDEba�28b12复习小结1.空间向量的夹角的定义及其表示方法。2.空间两个向量的数量积的概念、性质、运算律及其简单应用。3.运用向量解决立体几何中证明直线和直线、直线和平面垂直。作业：37P436P4实际应用如图：空间四边形ABCD中，AD=4，AB=3，AC=2，BC=5,60,60,2DACDAB求AD与BC所成角的余弦值。ABCD23452()ADBCADACAB�解：ADACADAB�6060ADACCOSADABCOS�11424322221,5542COSADBC�与BC所成角的余弦值为15所以，AD练习一1.判断下列命题是否正确：（1）若cbcaba则,（2）若00,0baba或则（3）)()(cbacba（4）若cbcaba//,//,//则练习二1.利用向量证明三垂线定理。证明：如图所示，已知OAaaAOPO且为射影,,,求证：PAa0)(OAaPOaOAPOa又在直线a上取向量a,即要证0PAaAaPo.,135,,,4||,23||0的值求若已知nmbabanbamba)()(0babanm由0||)1(||22bbaa23得解：练习三例二已知：在空间四边形OABC中，ACOBBCOA,求证：ABOC证明：由已知，得BCOAABCO0BCOA,0)(OBOCOAACOB0ACOB同理.0)(OAOCOB即,OBOAOCOA即有.OAOBOCOBABOC,0OCOBOCOA.0)(OCOBOA.0OCBA

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