高中数学 第三章 三角恒等变换 32 简单的三角恒等变换课件 新人教A版必修4 课件VIP专享VIP免费

3．2简单的三角恒等变换学案·新知自解1．在变换过程中灵活正向、逆向使用公式，掌握换元、方程思想等数学思想方法．2．熟练掌握三角函数的有关公式，进行简单的三角恒等变换．3．能用二倍角公式导出半角公式及其他一些公式，以及进行简单的应用．半角公式辅助角公式asinx＋bcosx＝__________________，其中tanφ＝___．a2＋b2·sin(x＋φ)ba[化解疑难]1．巧记“半角公式”无理半角常戴帽，象限确定帽前号；数1余弦加减连，角小值大用加号．“角小值大用加号”即y＝1＋cosα(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号，而y＝1－cosα为增函数，角大值大，因此用“－”号．2．辅助角公式形式上是asinα＋bcosα(ab≠0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成a2＋b2sin(α＋φ)的形式，其中tanφ＝ba，此公式称为辅助角公式．其中φ可通过tanφ＝ba以及点(a，b)所在的象限来确定．3．辅助角公式的特殊情况sinα±cosα＝2sinα±π4；sinα±3cosα＝2sinα±π3；cosα±3sinα＝2sinπ6±α.1．若π2<α<π，且cosα＝a，则cosα2等于()A.1－a2B．－1－a2C.1＋a2D．－1＋a2解析： cosα＝2cos2α2－1，∴cos2α2＝1＋cosα2.又 π2<α<π，∴π4<α2<π2，∴cosα2＝1＋cosα2＝1＋a2.答案：C2．已知2sinα＝1＋cosα，则tanα2＝()A.12B.12或不存在C．2D．2或不存在解析：由2sinα＝1＋cosα，即4sinα2cosα2＝2cos2α2，当cosα2＝0时，则tanα2不存在，当cosα2≠0时，则tanα2＝12.答案：B3．若3sinx－3cosx＝23sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝．解析： 3sinx－3cosx＝2332sinx－12cosx＝23sinx－π6，因φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.答案：－π6教案·课堂探究半角公式的应用自主练透型已知sinα＝－45，π＜α＜3π2，求sinα2，cosα2，tanα2的值．解析： π＜α＜3π2，∴sinα＝－45，∴cosα＝－35，且π2＜α2＜3π4，∴sinα2＝1－cosα2＝255，cosα2＝－1＋cosα2＝－55，tanα2＝sinα2cosα2＝－2.[归纳升华]解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.1．已知sinα2－cosα2＝－15，450°＜α＜540°，求tanα2的值．解析：由题意得sinα2－cosα22＝15，即1－sinα＝15，得sinα＝45. 450°＜α＜540°，∴cosα＝－35，∴tanα2＝1－cosαsinα＝1－－3545＝2.化简与证明多维探究型(1)若1＋tanα1－tanα＝2012，则1cos2α＋tan2α＝．(2)已知2sinπ4＋α＝sinθ＋cosθ，2sin2β＝sin2θ，求证：sin2α＋12cos2β＝0.[边听边记](1)1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝（sinα＋cosα）2cos2α－sin2α＝sinα＋cosαcosα－sinα＝tanα＋11－tanα＝2012.(2)证明：由2sinπ4＋α＝sinθ＋cosθ，得2cosα＋2sinα＝sinθ＋cosθ，两边平方得，2(1＋sin2α)＝1＋sin2θ，①又2sin2β＝sin2θ，②由①②两式消去sin2θ，得2(1＋sin2α)＝1＋2sin2β，即2sin2α＋cos2β＝0，所以sin2α＋12cos2β＝0.答案：(1)2012[归纳升华]三角函数化简与证明的常见方法(1)从复杂的一端向简单一端化简，即化繁为简．(2)两边化简，使其都等于中间某个式子，即左右归一．(3)把式子中的切函数化为弦函数，即化切为弦．(4)利用分析法、综合法找与原式等价的式子，即等价化归2．求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.证明：左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α2tanα21－tan2α2＝12cos2αtanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边．∴原式成立．三角恒等变换在实际问题中的应用多维探究型福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝π3，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A的位置...