福建省福鼎市高三数学(数学归纳法)课件VIP免费

6.36.3数学归纳数学归纳法法问题情境一多米诺骨牌课件演示1、第一块骨牌倒下2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K+1块也倒下请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件111a212a解:猜想数列的通项公式为验证:同理得•••正整数无数个!414=a对于数列｛｝，已知，na11=annnaaa+=+11)∈(*Nn（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？)(*Nnnan1问题情境二313a515=a717a616a919a818a多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题有相似性吗？多米诺骨牌游戏原理（1）第一块骨牌倒下。（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。（1）当n=1时，猜想成立根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。通项公式为的证明方法1nan（2）若当n=k时猜想成立，即，则当1kak111+=+kakn=k+1时猜想也成立，即。上述事例启发我们：在证明一个与正整数有关的数学命题时，我们常采用下面两个步骤来证明它们的正确性：（1）证明：当n=1时命题成立;数学归纳法（2）假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.这种证明方法叫做数学归纳法由（1），（2）可得命题对所有正整数n都成立。nnnaaa+=+1111=a对于数列｛｝，已知，na)∈(*Nn写出数列前4项,并猜想其通项公式;同学们,你能验证你的猜想是不是正确的呢?na证明:(1)当,1时=n猜想成立。,1111==a(2),,nk假设当时猜想成立kak1=即那么,当,1时+=kn=+kkaa1=+kk11111+k1,nk即当时猜想也成立.根据(1)和(2)，猜想对于任何都成立。*Nn∈=+1ka猜想数列的通项公式为解：例1、用数学归纳法证明：证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。(2)假设当n=k时等式成立，就是那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，等式也成立。因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何正整数n都成立。*1123(1)()2nnnnN1(1)123;2kkk1)123(kk1(1)2(1)kkk1(1)(2)2kk1(1)(1)12kk例题讲解2135...(21).nn证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．（2）假设当时，等式成立，就是kn那么当n=k+1时222135...(21)[2(1)1][(2(1)1]21(1)kkkkkkk这就是说，当n=k+1时，等式也成立．由（1）和（2），可知的等式对任何都成立．Nn练习用数学归纳法证明:2135...(21).kk那么，当n=k+1时0121*222221()nnnN用数学归纳法证明：－证明:(1)当n=1时,左边=20=1,右边=21－1=1等式成立（2）假设n=k时，等式成立，即1222221­210kk=+•••+++－kk222221­210即当n=k+1时等式也成立根据(1)和(2),可知等式对任何都成立.*∈Nn错误原因：由证明n=k+1等式成立时没有用到n=k命题成立的归纳假设21k221k121k21211k121k2k例:欲用数学归纳法证明，试问n的第一个取值应是多少?解：当n=1时，2n=2,n2=1,2n>n2当n=2时，2n=4,n2=4,2n=n2当n=3时，2n=8,n2=9,2nn2当n=6时，2n=64,n2=36,2n>n2对n=1、2、3…，逐一尝试,可知初始值为n=5.•当n≥5时，2n>n2(证明略)22n>n一、数学归纳法适用范围:课堂小结二、用数学归纳法证明命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0（例如n0=1或2）结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉三、两个注意：1、“二步骤一结论”缺一不可。2、第（2）步证明“假设n=k成立则n=k+1也成立”时一定要用到归纳假设。某些与正整数有关的数学命题.()nn作业布置：1.要交的作业：P132习题61、2、32.导与练：做一做1、2、3技能提升*111111111......23421212211nNnnnnnnknknk用数学归纳法证明：时，第二步：由到，不等式左边的变化是:时，要证明的等式右边是:112122kk增加（）项111112322122kkkkk