第二十六讲解斜三角形回归课本1.正弦定理、余弦定理设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，R是△ABC的外接圆半径．(1)正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R.正弦定理的三种变式：①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.③a:b:c＝sinA:sinB:sinC.(2)余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，b2＝a2＋c2－2ac·cosB，c2＝a2＋b2－2ab·cosC，或cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.2．解斜三角形的类型解斜三角形有下表所示的四种情况：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.S△＝12acsinB在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．S△＝12absinC在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.S△＝12absinC在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°求出角C；再利用正弦定理求出c边，S△＝12absinC可有两解、一解或无解，详见下表在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角图形关系式a＝bsinAbsinA
ba≤ba>ba≤b解个数一解无解一解无解3.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．点评：解三角形时常用结论：①大边对大角，反之亦然；②两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；③sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC；sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2，tanA＋B2＝cotC2，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.④△ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列．答案：A考点陪练1.在△ABC中，AB＝3，A＝45°，C＝75°，则BC＝()A．3－3B.2C．2D.3＋3解析：由正弦定理知，ABsinC＝BCsinA，即3sin75°＝BCsin45°⇒BC＝sin45°·3sin75°＝22·36＋24＝3－3.故选A.答案：B2．在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是()A．直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析：由正弦定理可知a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴由acosA＝bcosB＝ccosC得tanA＝tanB＝tanC.又0＜A，B，C＜π，故A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．3．△ABC中，a＝80，b＝100，A＝45°，则此三角形解的情况是()A．一解B.两解C．一解或两解D.无解答案：B解析： bsinA＜a＜b，即100×22＜80＜100，∴有两解．4．若△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量p＝(a＋b，c)，q＝(a－b，c－a)，若|p＋q|＝|p－q|，则角B的大小是()A．30°B.60°C．90°D.120°答案：B解析：p＋q＝(2a,2c－a)，p－q＝(2b，a)，由|p＋q|＝|p－q|，得4a2＋(2c－a)2＝4b2＋a2，化简a2＋c2－b22ac＝12＝cosB，B＝60°.故选B.5．(2010·江苏卷)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ba＋ab＝6cosC，则tanCtanA＋tanCtanB的值是________．解析：解法一：取a＝b＝1，则cosC＝13，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝43，∴c＝233.在如图所示的等腰三角形ABC中，可得tanA＝tanB＝2，又sinC＝223，tanC＝22，∴tanCtanA＋tanCtanB＝4.答案：4解法二：由ba＋ab＝6cosC，得a2＋b2ab＝6·a2＋b2－c22ab，即a2＋b2＝32c2，∴tanCtanA＋tanCtanB＝tanCcosAsinA＋cosBsinB＝sin2CcosCsinAsinB＝2c2a2＋b2－c2＝4.类型一三角形形状的判定解题准备：判断三角形的形状有两种方法——化边和化角．工具是正、余弦定理和三角形中的边角关系．【典例1】在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．[分析]利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．[解析]解法一：已知即a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B...
