专题七思想方法第1讲函数与方程思想感悟高考明确考向(2010·天津)设函数f(x)＝x－1x，对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是_________.解析 f(x)＝x－1x，x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0，∴mx－1mx＋m(x－1x)<0，∴2mx－1mx－mx<0，即mx[2m2x2－(1＋m2)]<0.由f(mx)＋mf(x)<0在x∈[1，＋∞)上恒成立知，mx[2m2x2－(1＋m2)]<0在x∈[1，＋∞)上恒成立．∴m≠0.当m<0时，只要2m2x2－(1＋m2)>0恒成立，即x2>1＋m22m2， x∈[1，＋∞)，∴1＋m22m2<1，∴m2>1，∴m<－1.当m>0时，只要2m2x2－(1＋m2)<0恒成立，即x2<1＋m22m2. x∈[1，＋∞)，∴x2<1＋m22m2不恒成立．综上，实数m的取值范围为(－∞，－1)．答案(－∞，－1)考题分析本小题考查了函数、不等式以及由不等式恒成立，求参数范围问题．考查了解决此类问题的基本方法．体现了函数与方程思想的应用．考查了考生灵活运用所学知识解决问题的能力．易错提醒(1)不等式的转换是易错点．(2)在讨论新函数的单调性时，易忽略对m的分类讨论．(3)方法选择不当，难以进行下去．思想方法概述函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点．1．函数的思想用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识．2．方程的思想在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．3．函数的思想与方程的思想的关系在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决．对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程可相互转化．4．函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．热点分类突破题型一函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用例1已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，求a的取值范围．思维启迪本题可以根据题设条件将b，c的和与积用a表示，构造一元二次方程，然后利用一元二次方程有解，其判别式Δ≥0，再构建a的不等式求解，或根据题设条件将a表示成c的函数转化为求函数的值域问题求解．解方法一(方程思想)：因为b＋c＝－a，bc＝1－a.所以b，c是方程x2＋ax＋1－a＝0的两根，所以Δ＝a2－4(1－a)≥0，即Δ＝a2＋4a－4≥0，解得a≥－2＋22或a≤－2－22.方法二(函数思想)：由已知a＋b＋c＝0a＋bc－1＝0，得b＋c－bc＋1＝0，如果c＝1，则b＋1－b＋1＝0，即2＝0，不成立，因此c≠1，所以b＝c＋1c－1，a＝1＋c1－c－c.令f(c)＝1＋c1－c－c＝c2＋11－c，所以f′(c)＝－c2＋2c＋1(1－c)2.令f′(c)＝0，则c＝1±2.当c<1－2时，f′(c)<0，函数f(c)在区间(－∞，1－2)上是减函数；当1－20，函数f(c)在区间(1－2，1)上是增函数；当10，函数f(c)在区间(1,1＋2)上是增函数，当c>1＋2，f′(c)<0，函数f(c)在区间(1＋2，＋∞)上是减函数．函数f(c)＝c2＋11－c的图象如图所示．所以f(c)≥f(1－2)＝－2＋22或f(c)≤f(1＋2)＝－2－22，所以a的范围是a≥－2＋22或a≤－2－22.方法三(函数思想)：同方法二，可令f(c)＝1＋c1－c－c＝－2＋(1－c)＋21－c，当1－c>0时，f(c)≥－2＋2(1...
