射影的有关概念:(1)点的射影:自一点P向平面垂足P’叫做P在平面内的正射影.(2)图形的射影:若图形F上所有点在一个平面内的射影构成图形F’,则F’叫做F在这个平面内的射影.引垂线,斜线的有关概念:(1)斜线:若一条直线和一个平面相交但不垂直,则这条直线叫做平面的斜线;(2)斜足:斜线和平面的交点;(3)斜线段:斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段.由此,斜线段AB在平面内的射影仍为线段,即为线段A0B.BA0A引例:正方体ABCD-A’B’C’D’(1)找平面AC的斜线BD’在平面AC上的射影;(2)BD’与AC的位置关系如何?(3)BD’与AC所成的角是多少度?ABCDA’B’C’D’OE’射影斜线平面的垂线去掉多余线段后的模型平面内的直线线段扩展后的模型OAPaα三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。平面内斜线直线射影证明:∵PO⊥α，aα∴PO⊥a，又∴a⊥平面POA，PO∩OA=OAP∴已知:PO,PA分别是平面α的垂线,斜线,OA是PA在α内的射影,aα,且a⊥OA.求证:a⊥PA.若将a⊥OA与a⊥AP交换会怎样?a⊥OA,a⊥PA.OA平面POA，PO∩AP=P这就是三垂线定理的逆定理OAPaα三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。a三垂线定理及其逆定理涉及的几何元素：(1)一个平面;(2)四条直线:a①平面的垂线;②平面的斜线;③斜线在平面内的射影;④平面内的一条直线.(3)三个垂直:①直线与平面垂直;②平面内的一条直线与斜线在平面内的射影垂直;③平面内的一条直线与斜线垂直.例.在空间四边形ABCD中AB⊥CD,AH⊥平面BCD,垂足为H,求证:BH⊥CD.AB∴BH⊥CD.∵AB⊥CD.证明:∵AH⊥平面BCD，∴BH为斜线AB在平面BCD上的射影.DCH平面BCD，∵CD应用三垂线定理及逆定理证明直线垂直的步骤:“一垂”:找平面及平面的垂线“一垂二射三证明”“二射”:找斜线在平面上的射影“三证明”:用定理证明直线垂直1.PA⊥平面ABC，AB=AC,M是BC的中点。求证:BC⊥PM.ABCPM∴BC⊥PM.∵AB=AC,M是BC的中点∴AM⊥BC.证明:连接AM∵AP⊥平面ABC，∴AM为斜线PM在平面ABC上的射影.平面ABC，∵BC2.PA⊥平面ABC，PB=PC,M是BC的中点。求证:AM⊥BC.ABCPM∴AM⊥BC.∵PB=PC,M是BC的中点∴PM⊥BC.证明:连接PM∵AP⊥平面ABC，∴AM为斜线PM在平面ABC上的射影.平面ABC，∵BC3.正方体ABCD-A’B’C’D’E,F分别是AA’,AB上的点,EC’⊥EF求证:EF⊥EB’证明:∵ABCD-A’B’C’D’是正方体∴B’E是斜线EC’在平面A’B上的射影.∵EC’⊥EF∴EF⊥EB’ABCDA’B’C’D’EF平面AB‘，∵EF4.应用:有一方木料如图,上底有一点E,要经过点E在上底面内画一条直线和C,E的连线垂直,应怎样画?解:连接C’E,过E点在平面A’C’内作MN⊥EC’,则MN即为所求.ABCDA’B’C’D’ENMN∵ABCD-A’B’C’D’是长方体∴C’E是斜线CE在平面A’C’上的射影.∵MN⊥C’E,∴MN⊥CE平面A’C‘，∵MN应用三垂线定理及逆定理证明直线垂直的步骤:“一垂”:找平面及平面的垂线“一垂二射三证明”“二射”:找斜线在平面上的射影“三证明”:用定理证明直线垂直作业:P24练习第二题.小结:
