第58讲空间向量的概念与运算【学习目标】1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式．2．理解空间向量的概念，理解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．4．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．【基础检测】1．如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则12(�AB＋�BC＋�CD)化简的结果为()A.�BFB.�EHC.�HGD.�FG【解析】12(�AB＋�BC＋�CD)＝12(�AC＋�CD)＝12�AD＝12·2�HG＝�HG.C2．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于()A．5B.41C．4D．25【解析】设�AD＝λ�AC，D(x，y，z)．则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0，4，－3)．∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ，∴�BD＝(－4，4λ＋5，－3λ)．∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－45，∴�BD＝－4，95，125，∴|�BD|＝16＋8125＋14425＝5.A3．已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值是_____________．【解析】由题意知：λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得λ＝2，μ＝12或λ＝－3，μ＝12.2,31122，或-4．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则a与b的夹角等于_______．【解析】由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0，及(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0.两式相减，得46a·b＝23|b|2，∴a·b＝12|b|2.代入上面两个式子中任意一个，即可得到|a|＝|b|.∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝12|b|2|b|2＝12. 〈a，b〉∈[0°，180°]，∴a与b的夹角为60°.60°大小方向模或长度|a|01相等向量相等【知识要点】1．空间向量的有关概念(1)在空间中，我们把具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的___________，用____表示，长度为零的向量叫做零向量，记为____；模为____的向量叫做单位向量．(2)长度相等且方向相同的向量叫做__________，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量_______．平行四边形三角形b＋aa＋(b＋c)2．空间向量的加、减法法则和运算律(1)向量加法运算法则是__________法则或________法则，即①加法法则：OB→＝OA→＋AB→；②减法法则：BA→＝OA→－OB→.(2)运算法则：①加法交换律：a＋b＝_______；②加法结合律：(a＋b)＋c＝____________．(3)线段AB的中点公式：设O是空间任意一点，点P是线段AB的中点，则OP→＝_____________．12(OA→＋OB→)数乘运算|λa|λa＋λb(λμ)a平行或重合λa3．向量的数乘运算(1)实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的___________，向量λa的长度为_____，当λ＞0时与a同向，当λ＜0时与a反向．(2)运算法则：①数乘分配律：λ(a＋b)＝_________；②数乘结合律：λ(μa)＝_________．4．平行向量(共线向量)(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相____________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a∥b.(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a(a≠0)，b，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ使b＝______．平行内平面xa＋ybxa＋yb＋zc基底基向量5．向量与平面平行(1)如果表示向量a的有向线段所在直线与平面α____或a在α平面____，我们就说向量a平行于平面α，记作a∥α.(2)共面向量：我们把平行于同一_______的向量叫做共面向量．(3)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的实数对x，y，使p＝___________．6．空间向量基本定理(1)基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使p＝______________．(2)三个向量a，b，c不共面，我们把{a，b，c}叫做空间的一个_______，a，b，c都叫做_________．0ππ7．空间两向量的数量积(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．①规定___≤〈a，b〉≤___，因而〈a，b〉＝〈b，a〉；②如果〈a...
