高考数学第一轮总复习 第31讲 等差数列的概念及基本运算课件 文 (湖南专版) 课件VIP专享VIP免费

11.通过实例，理解等差数列的概念.2.探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.51.等差数列定义①.(nN*),∈这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a3-a2=a2-a1=d(常数),就说{an}是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列,还可由an+an+2=2an+1,即an+2-an+1=an+1-an来判断.2.等差数列的通项为②.可整理成an=nd+(a1-d),当d≠0时，an是关于n的一次式，它的图象是一条直线上n为自然数的点的集合.3.等差数列广义通项公式：4.等差数列的前n项和公式Sn=④=⑤,可以整理成Sn=n2+(a1-)n,当d≠0时,Sn的一个常数项为0的二次式.2__________5abcbacb个数数则项时⑤若，，三成等差列，叫，的等差中，此．1111()11.22nnnnaadaandaannnnadac【要点指南】①常数；②；③；④；⑤1.(2012·四川省资中)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋23，则a10＝()A．5B．7C．8D．10【解析】由an＋1＝an＋23⇒{an}为以a1＝2为首项，以23为公差的等差数列，则a10＝a1＋9d＝2＋6＝8.2.(2011·重庆卷)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12B．14C．16D．18【解析】由题意，公差d＝a3－a2＝2，故a10＝a2＋(10－2)d＝2＋8×2＝18，故选D.3.(2012·广东省六校)设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}前8项的和为()A．128B．80C．64D．56【解析】由前n项和公式S8＝8a1＋a82＝8a2＋a72＝4×16＝64，故选C.4.(2011·天津卷)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a3＝16，S20＝20，则S10的值为110.【解析】设公差为d，由题意得a1＋2d＝1620a1＋20×192d＝20⇒a1＝20d＝－2.所以S10＝10a1＋10×92d＝110.5.在数列{an}中，若a1＝1，a2＝12，2an＋1＝1an＋1an＋2(n∈N*)，则该数列的通项为an＝1n.【解析】由2an＋1＝1an＋1an＋2(n∈N*)知，{1an}为等差数列，且首项1a1＝1，公差d＝1a2－1a1＝1，所以1an＝1a1＋(n－1)d＝n，所以an＝1n.一等差数列中的基本量的计算【例1】(2011·福建卷)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝n[1＋3－2n]2＝2n－n2.由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7为所求．【点评】等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d中，有五个基本量a1、an、n、d、Sn，已知其中的三个就可求另外两个，其中a1和d是两个基本量，用它们可表示已知与未知．求解时，注意方程思想和整体思想，本题也可直接由d＝a3－a13－1＝－2求公差．等差数列an的公差为12，且前100项和S100＝145，求a1＋a3＋a5＋…＋a99的值．素材1【解析】解法1：(a2＋a4＋a6＋…＋a100)－(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝50d＝25.因为S100＝145，所以a1＋a3＋a5＋…＋a99＝145－252＝60.解法2：由100a1＋100×992×12＝145得a1＝－23310.所以a1＋a3＋a5＋…＋a99＝－23310×50＋50×492＝60.二等差数列的判定与证明【例2】已知数列an，首项a1＝3，且2an＝Sn·Sn－1(n≥2)．(1)求证：1Sn是等差数列，并求其公差；(2)求an的通项公式．【分析】证1Sn为等差数列，即证1Sn－1Sn－1＝d(d是常数)．【解析】(1)证明：由已知，当n≥2时，2an＝Sn·Sn－1，即2(Sn－Sn－1)＝Sn·Sn－1(n≥2)，所以2Sn－Sn－1SnSn－1＝1即1Sn－1Sn－1＝－12(n≥2，n∈N*)．所以{1Sn}是以1S1＝1a1＝13为首项，公差d＝－12的等差数列．(2)因为1Sn＝1S1＋(n－1)d＝13＋(n－1)(－12)＝5－3n6，所以Sn＝65－3n(n∈N*)．从而an＝12Sn·Sn－1＝183n－53n－8(n≥2，n∈N*)，因此，an＝3n...