一轮复习讲义一轮复习讲义直线的方程1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把所在的直线绕着交点按方向旋转到和直线重合时所转过的称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.②倾斜角的范围为．忆一忆知识要点x轴逆时针最小正角0°[0°，180°)要点梳理(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.忆一忆知识要点正切值tanα要点梳理2．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含垂直于x轴的直线斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用忆一忆知识要点y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋by－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)要点梳理3.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为；(2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为；(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为；(4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为.忆一忆知识要点x＝x1y＝y1x＝0y＝0要点梳理4．线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝y＝，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．忆一忆知识要点221yyx1＋x22要点梳理[难点正本疑点清源]1．直线的斜率与倾斜角的区别及联系在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围．每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．所以在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率存在与不存在的情况，避免出现漏解的情形．同时，斜率又是由倾斜角唯一确定的．2．直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，其中点斜式是最基本的，其他形式的方程皆可由它推导．直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，如点斜式方程的使用要求直线存在斜率；截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零；两点式方程的使用要求直线不与坐标轴垂直．因此应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解．例1已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率分别求出PA、PB的斜率，直线l处于直线PA、PB之间，根据斜率的几何意义利用数形结合即可求．解方法一如图所示，直线PA的斜率kPA＝2－(－3)－1－(－2)＝5，直线PB的斜率kPB＝0－23－(－1)＝－12.当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是[5，＋∞)；当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围是－∞，－12.∴直线l的斜率的取值范围是－∞，－12∪[5，＋∞)．方法二设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0，即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5或k≤－12.即直线l的斜率k的取值范围是－∞，－12∪[5，＋∞)．解决本类题目有两种思路：一运用数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y＝tanα的单调性求k的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的；二巧妙利用不等式所表示的平面区域的性质使问题得以解决．探究提高经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的倾斜角α与斜率k的范围．变式训练1解方法一如图所示，kPA＝－2－(－1)1－0＝－1，kPB＝1－(－1)2－0＝1，由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是[135°，180°)∪[0°，45°]；直线l的斜率k的范围是[－1,1]．方法二设直线l的斜...
