主页主页一轮复习讲义一轮复习讲义平面向量的数量积主页主页1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量叫做a和b的数量积(或内积)，记作.规定：零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂直的充要条件是，两个非零向量a与b平行的充要条件是.要点梳理忆一忆知识要点|a||b|cosθa·b＝|a||b|cosθ0a·b＝±|a||b|a·b＝02．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积．|b|cosθ主页主页3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔；(3)当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝，a·a＝a2，|a|＝；(4)cosθ＝；(5)|a·b||a||b|.忆一忆知识要点|a|cosθa·b＝0|a||b|－|a||ba·aa·b|a||b|≤4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝(交换律)；(2)(λa)·b＝＝(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.b·aλ(a·b)a·(λb)要点梳理主页主页5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝或|a|＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔.忆一忆知识要点x1－x22＋y1－y22x1x2＋y1yx2＋y2x1x2＋y1y2＝022xy要点梳理主页主页[难点正本疑点清源]1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2．数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足向量间的结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)．这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．主页主页例1已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．平面向量的数量积的运算平面向量的数量积的运算方法一由题意，得|a|＝|b|＝1，a·b＝0.又(a－c)·(b－c)＝0，所以|c|2＝c·(a＋b)＝|c||a＋b|·cosθ，其中θ是c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|cosθ＝2cosθ.又θ∈[0，π]，所以|c|的最大值是2.解析解析方法二设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)．又(a－c)·(b－c)＝0，所以(1－x)·(－x)－y(1－y)＝0，从而得到圆：x－122＋y－122＝12，主页主页所以向量c的起点即坐标原点在这个圆上，终点也在这个圆上．又圆上两点间的最大距离等于圆的直径长，所以|c|的最大值是2.方法三因为(a－c)·(b－c)＝0，所以a－c与b－c互相垂直．又a，b是两个互相垂直的单位向量，所以a，b，a－c，b－c构成的四边形是圆内接四边形，c为其对角线．所以当c是直径时，|c|达到最大值，这时圆内接四边形是以a，b为邻边的正方形，所以|c|的最大值是2.答案2主页主页方法一的难点是如何利用条件建立|c|的表达式，突破这一难点的方法就是结合条件利用向量的数量积将|c|用|a＋b|cosθ＝2cosθ来表示即可．方法二的难点是如何建立c坐标的关系式，要突破这一难点就要先设向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，再由条件建立c的坐标的关系式x－122＋y－122＝12即可．方法三的难点是对向量几何意义的挖掘，突破这一难点，要由条件得出向量c是向量a，b，a－c，b－c构成的圆内接四边形的对角线．探究提高主页主页(1)若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正东方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝______.变式训练1(1)如图所示，由已知，作OA→＝a，OB→＝b，OA→、OB→的方向分别是正南、正东方向，且|a|＝|b|＝1，则OC→＝－3a的方向是正北方向，|OC→|＝|－3a|＝3|a|＝3，OD→＝OA→＋OB→＝a＋b的方向是东南方向，|a＋b|＝2(四边形OADB是正方形)，且OC→与OD→的夹角是∠COD＝135°，所以(－3a)·(a＋b)＝3×2×cos135°＝32×－22＝－3.解析解析主页主页(2)设BD＝a，则BC＝3a，作CE⊥BA交的延长线于E，可知∠DAC＝∠ACE，在Rt△ABD中，sinB＝1BD＝1a.在Rt△BEC中，...
