学案学案33空间点、直线、平面空间点、直线、平面之间的位置关系之间的位置关系返回目录一、平面1.三个公理公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2,有且只有一个平面，也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面.两点过不在一条直线上的三点公理3如果两个不重合的平面，那么它们有且只有.2.符号语言与数学语言的关系有一个公共点一条过该点的公共直线数学符号语言数学表达语言点A在直线a上点A在直线a外点A在平面α内点A在平面α外直线a在平面α内直线a,b相交于点A平面α,β相交于直线a返回目录α∩β=aAa∈Aa∈Aa∈Aa∈aα⊆a∩b=A返回目录1.空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面(1)相交直线:;(2)平行直线:;(3)异面直线:.2.判定异面直线的方法(1)利用定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.二、空间两条直线的位置关系在同一平面内，有且只有一个公共点在同一平面内，没有公共点不同在任何一个平面内（或者说，异面直线既不相交又不平行的两条直线），没有公共点返回目录(2)利用反证法：假设两条直线不是异面直线，推导出矛盾.3.公理4——空间平行线的传递性.4.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角.平行于同一条直线的两条直线互相平行相等或互补返回目录5.异面直线所成的角设a,b是异面直线，经过空间任一点O，分别作直线a′a,b′b∥∥，把直线a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).三、空间直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有三种：（1）直线在平面内：；（2）直线与平面相交：；（3）直线与平面平行：，锐角(或直角)有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点返回目录直线与平面相交或平行的情况统称.四、平面与平面的位置关系两个平面之间的位置关系有且只有两种：（1）两个平面平行：；（2）两个平面相交：.有一条公共直线直线在平面外没有公共点返回目录如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，过E，F，G的平面交AD于H，连接EH.（1）求AH:HD；（2）求证：EH，FG，BD三线共点.考点一证明共点问题考点一证明共点问题【分析】【分析】证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证.返回目录返回目录【解析】【解析】（1） =2，∴EFAC.∥∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD=GH，∴EFGH.∥而EFAC∥，∴ACGH.∥∴=3，即AH:HD=3:1.⊂GDCGHDAH=FBCFEBAE=返回目录（2）证明： EFGH∥，且，，∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形.令EH∩FG=P,则PEH,∈而EH平面ABD，PFG∈，FG平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴PBD.EH∈∴，FG，BD三线共点.31ACEF=41ACGH=⊂⊂【评析】【评析】所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点.（1）证明三线共点的依据是公理3.（2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理.返回目录＊对应演练＊＊对应演练＊如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点.且CG=BC，CH=DC.求证：（1）E，F，G，H四点共面；（2）三直线FH，EG，AC共点.3131返回目录返回目录（1）连接EF，GH.由E,F分别为AB,AD中点，∴EFBD,由CG=BCCH=DC，∴HGBD，∴EFHG∥且EF≠HG. EF,HG可确定平面α,∴E,F,G,H四点共面.21313131＝∥＝∥（2）由（1）知,EFHG为平面图形，且EFHG∥，EF≠HG.∴四边形EFHG为梯形，设直线FH∩直线EG=O， 点O∈直线FH，直线FH面ACD，∴点O∈平面ACD.同理点O∈平面ABC.又面ACD∩面ABC=AC，∴点O∈直线AC（公理2）.∴三直线FH，EG，AC共点.返回目录⊂在正方体ABCD—A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线.【分析】【分析】证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线,再证明其余点也在该直线上.考点二点共线问题考点二点共线问题返回目录【证明】【证明】如图,A...
