1物理学中有许多既有大小又有方向的量,如速度、位移、力等。把这些量的共性抽取出来专门研究─向量。向量的概念及其运算2一、向量的有关概念返回继续1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小又叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:⑴字母表示法:如,,,abc等.⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB�,CD�等.⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA�的起点O为在坐标原点,终点A坐标为,xy,则,xy称为OA�的坐标,记为OA�=,xy.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3返回继续3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为ab.注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.4返回继续6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量:长度相等且方向相反的向量.5二、向量的运算(一)运算定义①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是从实践中概括来的，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.返回继续6每一种运算的刻划有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言平行四边形法则OAOBOC�OBOAAB�记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)则OAOB�=(x1+x2,y1+y2)OBOA�=（x2-x1,y2-y1）加法与减法三角形法则OAABOB�实数与向量的乘积AB=λaλ∈R记a=(x,y)则a=(λx,λy)两个向量的数量积cos,ababab记1122(,),(,)axybxy则a·b=x1x2+y1y2返回继续7返回继续向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积运算.其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些向量运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化81.a�的长度与方向规定如下:返回继续实数与向量的积⑴长度aa�⑵时,a�与a�同向;时,a�与a�反向;时,0a�.2.运算律:⑴结合律:()()aa�⑵分配律()abab��;()aaa�.93.两个重要结论:返回继续⑴两个向量共线的充要条件,0//babab若则(存在唯一实数)⑵平面向量基本定理:如果12,ee�是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a�,有且只有一对实数12,,使1122aee�.①其中12,ee�叫做表示这一平面内所有向量的基底;②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,ee�的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.104.向量的坐标表示:当基底,ij�是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系.如图返回继续(,)axiyjxy��一一对应⑴当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x，y),则OA�=（x,y）;⑵当向量起点不在原点时,向量AB�坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A（x1,y1）,B（x2,y2）,则AB=(x2-x1,y2-y1)注:向量的运算可以完全坐标化.111122121212121111(,),(,),(,)(,)(,)(,)axybxyabxxyyabxxyyaxyxy�������若则1221//0abxyxy12120abxxyy返回继续12例1D、E、F分别是△ABC边AB、BC、CA上的中点(如图)，则等式(1)0FDDAAF�;(2)0FDDEEF�;(3)0DEDABE�;(4)0ADBEAF�;其中正确的是_________.返回继续(3)、(4)13答案返回继续14返回继续15答案返回继续16返回继续17例4设12,ee�是不共线的向量,已知向量122ABee�k,123CBee�,122CDee�...
