第8讲立体几何中的向量方法(二)第8讲立体几何中的向量方法(二)【2013年高考会这样考】考查用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的大小．【复习指导】复习中要掌握空间角的类型及各自的范围，掌握求空间角的向量方法，特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系．基础梳理1．空间的角(1)异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b.则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角．(3)二面角的平面角如图在二面角αlβ的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．2．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cosθ＝.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ＝.|cos〈m1，m2〉||cos〈m，n〉|cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉三种成角(1)异面直线所成的角的范围是0，π2；(2)直线与平面所成角的范围是0，π2；(3)二面角的范围是[0，π]．易误警示利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．双基自测1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是()．A．90°B．30°C．45°D．60°解析 cos〈a，b〉＝12·2＝12，又 〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝60°.答案D2．(人教A版教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()．A．45°B．135°C．45°或135°D．90°解析cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝11×2＝22，即〈m，n〉＝45°，其补角为135°，∴两平面所成的二面角为45°或135°.答案C3．(2011·德州月考)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()．A．30°B．60°C．120°D．150°解析设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝12，∴θ＝30°.答案A4．在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为()．A．－1010B．－120C.120D.1010解析如图建立直角坐标系Dxyz，设DA＝1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E0，12，1.则AC→＝(－1,1,0)，DE→＝0，12，1，若异面直线DE与AC所成的角为θ，cosθ＝|cos〈AC→，DE→〉|＝1010.答案D5．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．考向一求异面直线所成的角【例1】►(2011·上海高考改编)已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1＝2，求(1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值；(2)四面体AB1D1C的体积．[审题视点]建立恰当的空间直角坐标系，用向量法求解，注意角的范围．异面直线所成角范围是(0°，90°]，若异面直线a，b的方向向量为m，n，异面直线a，b所成角为θ，则cosθ＝|cos〈m，n〉|.解题过程是：(1)建系；(2)求点坐标；(3)表示向量；(4)计算．【训练1】(2011·全国高考)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．考向二利用向量求直线与平面所成的角【例2】►如图所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．[审题视点]转化为三角形内角求解不易，故考虑用向量法求解，注意向量的夹角与直线与平面所成角的关系．(1)异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系．(2)直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量...
