§2.12导数的应用§2.12导数的应用考向瞭望•把脉高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理基础梳理1．导数与函数的单调性导数单调性如果在某个区间内，函数y＝f(x)导数_________则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递增导数___________则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递减f′(x)>0f′(x)＜0思考感悟1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)上单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)上是增函数，则f′(x)≥0，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值(1)设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是f(x)的一个_________，记作_________________极大值与极小值统称为__________极大值y极大值＝f(x0)极小值y极小值＝f(x0)．极值．(2)判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是____________②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是____________极大值．极小值．思考感悟2．导数为零的点一定是极值点吗？提示：对于可导函数来说，函数在某点x0的导数为0是函数在该点处取得极值的必要不充分条件，即y＝f(x)在x0处取得极值必有f′(x0)＝0，但反过来不成立．如f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2，∴f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点，事实上f(x)＝x3在R上单调递增，另一方面对于可导函数f(x)，若f′(x)在x0的两侧异号，则x＝x0必是f(x)的一个极值点．3．函数的最值函数f(x)在[a，b]上必有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条___________的曲线，那么它必有最大值和最小值．连续不断思考感悟3．极值与最值有何区别与联系？提示：极值与最值的区别和联系：(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部范围对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．(2)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性．(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．(4)可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点，如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点．课前热身课前热身1．(教材习题改编)函数f(x)＝x3＋ax＋b在区间(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则()A．a＝1，b＝1B．a＝1，b∈RC．a＝－3，b＝3D．a＝－3，b∈R答案：D2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()答案：D3．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围是()A．m＞0B．m＜0C．m＞1D．m＜1解析：选B.y′＝ex＋m，函数y＝ex＋mx有极值，则函数y＝ex＋mx在定义域内不单调，∴m＜0.4．(原创题)函数f(x)＝xlnx的单调递增区间是________．解析：据题意f′x＝lnx＋1＞0x＞0，得x＞1e.答案：(1e，＋∞)5．(教材习题改编题)已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.答案：32考点探究•挑战高考考点突破考点突破利用导数研究函数的单调性此类题主要考查求函数的导数、单调性的判定以及单调性的应用，是高考考查的重点，考题可能以小题形式出现，也可以以中档大题形式出现．应注意函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导，则f′(x)＞0是函数y＝f(x)在(a，b)上递增的充分条件，并非充要条件．(2009年高考安徽卷)已知函数f(x)＝x－2x＋1－alnx，a>0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a＝3，求f(x)在区间[1，e2]上的值域，其中e＝2.71828…是自然对数的底数．例例11【思路点拨】对(1)，先求导，再将导函数转化为二次函数问题，最后通过对二次函数的讨论解决问题；对(2)，由(1)作为基础，(2)的求解就变成了增函数、减函数在定区间上的最值问题，求解即得．【解】(1)f(x)的定义域是(0...
