第九章(B)直线、平面、简单几何体2012高考调研考纲要求理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．1．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．2．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式．3．理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．注：其他同第九章(A)．考情分析空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，在高考中占有重要位置．在建立了空间直角坐标系后，用坐标表示向量，进行向量的有关运算．运用向量工具解决立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题，是立体几何考查的新方向，因此必将在高考中重点体现和重点考查．从近几年高考试卷来看，涉及空间角(空间向量)和存在性(开放性)问题的试题，难度多为中档或高档．立体几何试题一般有大、小3道题，分值约22分，占试卷总分的15%左右．第四十七讲(第四十八讲(文))空间向量及其运算回归课本1.空间向量及其加减与数乘运算(1)在空间，具有大小和方向的量叫做向量．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量对应运算的推广．(3)空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律．加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb2．共线向量与共面向量(1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量．(2)平行于同一平面的向量叫做共面向量．空间任意两个向量总是共面的．(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(4)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使p＝xa＋yb.推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数x，y，使MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任一定点O，有OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→.推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式OP→＝OA→＋ta.其向量a叫做直线l的方向向量．3．空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→.4．两个向量的数量积(1)向量a、b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)向量的数量积的性质：①a·e＝|a|cos〈a，e〉(e是单位向量)；②a⊥b⇔a·b＝0；③|a|2＝a·a.(3)向量的数量积满足如下运算律①(λ·a)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．考点陪练1.下列命题是真命题的是()A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C．若向量AB→，CD→满足|AB→|>|CD→|，且AB→与CD→同向，则AB→>CD→D．若两个非零向量AB→与CD→满足AB→＋CD→＝0，则AB→∥CD→答案：D解析：A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任两向量均共面．B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．C错．空间任两向量不研究大小关系，因此也就没有AB→>CD→这种写法．D对， AB→＋CD→＝0，∴AB→＝－CD→，∴AB→与CD→共线，故AB→∥CD→正确．答案：B2．已知A、B、C三点不共线，点O是平面ABC外一点，则在下列各条件中，能得到点M与A、B、C一定共面的条件为()A.OM→＝12OA→＋12OB→＋12OC→B.OM→＝13OA→－13OB→＋OC→C.OM→＝OA→＋OB→＋OC→D.OM→＝2OA→－OB→＋OC→解析：由共面向量定理的推论知OA→、OB→、OC→的系数之和为1，选项B中13＋－13＋1＝1符合．3．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若AF→＝AD→＋xAB→＋yAA′→，则x－y等于()A．0B．1C.12D．－12解析...
