§2立体几何[考情解读]从近两年的高考试题来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等偏高，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角等，同时注重考查学生空间想象能力、运算能力．预测2012高考仍将以用向量证明平行与垂直，以及利用向量求空间角为主要考点，重点考查向量的数量积、空间想象能力、运算能力等．分类突破热点一平行与垂直的证明例1已知正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的所有棱长均为2，G为AF的中点．(1)求证：F1G∥平面BB1E1E；(2)求证：平面F1AE⊥平面DEE1D1；(3)求四面体E－GFF1的体积．[规范解答示例](1)证明因为AF∥BE，AF⊄平面BB1E1E，BE⊂平面BB1E1E，所以AF∥平面BB1E1E，同理可证，AA1∥平面BB1E1E，又因为AF∩AA1＝A，所以AA1F1F∥平面BB1E1E，又F1G⊂平面AA1F1F，所以F1G∥平面BB1E1E.5分(2)证明因为底面ABCDEF是正六边形，所以AE⊥ED，又E1E⊥底面ABCDEF，所以E1E⊥AE.7分因为E1E∩ED＝E，所以AE⊥平面DD1E1E，又AE⊂平面F1AE，所以平面F1AE⊥平面DEE1D1.9分(3)解因为F1F⊥底面FGE，所以13S△GEF·FF1＝13×12×1×2sin120°×2＝33.12分GFEFGFFEVV11[易错提醒]在利用判定定理或性质定理证明平行或垂直关系时易失误的地方是解答步骤中忽视了每个定理成立的条件，如(1)中直接写AF∥BE⇒AF∥面BB1E1E，而漏掉定理中成立的条件，(AF⊄面BB1E1E，BE⊂面BB1E1E)，造成不应有的丢分．热点二立体几何中的空间角问题例2正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A－A1D－B的余弦值．[规范解答示例]解如图，取BC的中点O，连接AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.2分取B1C1的中点O1，以O为原点，OB→，OO1→，OA→的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)，设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)．AD→＝(－1,1，－3)，AA1→＝(0,2,0)．∵n⊥AD→，n⊥AA1→，∴n·AD→＝0，n·AA1→＝0，即－x＋y－3z＝0，2y＝0，∴y＝0，x＝－3z.令z＝1得n＝(－3，0,1)为平面A1AD的一个法向量.6分∵AB1⊥A1B，在平面BCC1B1上，OB1⊥BD，又BD⊥AO且AO∩OB1＝O，∴BD⊥平面AOB1，又AB1⊂平面AOB1，∴AB1⊥BD.又A1B∩BD＝B，∴AB1⊥平面A1BD，∴AB1→为平面A1BD的法向量．又∵AB1→＝(1,2，－3)，∴cos〈n，AB1→〉＝n·AB1→|n|·|AB1→|＝－3－32×22＝－64.10分∴二面角A－A1D－B的余弦值为64.12分构建答题模板第一步：作出(或找出)具有公共交点的三条相互垂直的直线．第二步：建立空间直角坐标系(建立方法在答题规范中已讲过)，设出特征点坐标．第三步：求二面角面的法向量n，m，第四步：：求法向量n，m的夹角或cos〈m，n〉．第五步：将法向量的夹角转化为二面角的夹角．第六步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题中求得cos〈n，AB1→〉＝－64，考生容易错答为：二面角A－A1D－B的余弦值为－64.这就是本题的易错点．上面第五步将法向量的夹角转化为二面角时，要注意直观判定二面角的大小．返回
