第三节导数的实际应用重点难点重点：利用导数解决实际问题中的优化问题难点：如何建立数学模型，借助导数求最值知识归纳利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．误区警示(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．(3)生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间．1．运用导数可以求曲线的切线的斜率、切线方程，研究函数的单调性，确定函数的极值与最值．讨论方程根的分布，证明不等式等等．其中讨论参数的取值范围，确定根的个数、证明不等式等问题，其实质都是要转化成函数的单调性、极(最)值，其关键环节都是“求导→解不等式→找出单调区间”．2．注意极值与最值的区别，极值是局部性质，最值是整个定义域上的性质，最值点通常是极值点、区间端点和不可导点；极大值不一定是最大值，极大值也不一定比极小值大．3．实际问题中，若存在极值点，一般都是最值点．[例1]统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y＝1128000x3－380x＋8(00，f(x)是增函数．∴当x＝80时，f(x)取到极小值f(80)＝11.25(升)．因为f(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．某工厂设计一个密闭容器，下部是圆柱体形，上部是半球形，容积为常数V，当圆柱的底半径r与高h为何值时，制造这个容器的用料最省？解析：23πr3＋πr2h＝V①∴43πr2＋2πrh＝2Vr，S＝5πr23＋2Vr，由S′＝10πr3－2Vr2＝0得，r＝33V5π代入①中得h＝r＝33V5π，∴当h＝r＝33V5π时用料最省.[例2]某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？利润最大问题(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－13x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？(注：收益＝销售额－投入)．解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万元．即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)，则有g(x)＝(－13x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－13x3...
