数学RB（理）第八章立体几何空间向量及其运算空间向量及其运算基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．空间向量的有关概念及定理语言描述共线向量(平行向量)如果空间一些向量的基线，则这些向量叫做共线向量或平行向量．共线向量定理空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使.共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使.空间向量分解定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个的有序实数组x，y，z，使.互相平行或重合a＝xbc＝xa＋yb唯一xa＋yb＋zc基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理2．两条异面直线所成的角把异面直线平移到，这时两条直线的夹角()叫做两条异面直线所成的角．3．数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积：①a·b＝；②a⊥b⇔(a，b为非零向量)；③|a|2＝，|a|＝x2＋y2＋z2.(2)向量的坐标运算：一个平面内锐角或直角|a||b|cos〈a，b〉a·b＝0a·a基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝向量差a－b＝数量积a·b＝数乘向量λa＝a∥b(b≠0)⇔共线a∥b(b与三个坐标平面都不平行)⇔垂直a⊥b⇔夹角公式cos〈a，b〉＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b3(λa1，λa2，λa3)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＝a2b2＝a3b3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23题号答案解析12345A基础知识·自主学习C13，－23，23或－13，23，－23(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×夯实基础突破疑难夯基释疑12a＋14b＋14c题型一空间向量的线性运算【例1】如图，在三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示MG→，OG→.思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例1】如图，在三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示MG→，OG→.思维升华解析思维启迪利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可．题型分类·深度剖析题型一空间向量的线性运算【例1】如图，在三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示MG→，OG→.思维启迪思维升华解析解MG→＝MA→＋AG→＝12OA→＋23AN→＝12OA→＋23(ON→－OA→)＝12OA→＋23[12(OB→＋OC→)－OA→]＝－16OA→＋13OB→＋13OC→.题型分类·深度剖析OG→＝OM→＋MG→＝12OA→－16OA→＋13OB→＋13OC→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.题型一空间向量的线性运算【例1】如图，在三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示MG→，OG→.思维启迪思维升华解析用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．题型分类·深度剖析题型一空间向量的线性运算跟踪训练1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简A1O→－12AB→－12AD→＝________；(2)用AB→，AD→，AA1→表示OC1→，则OC1→＝__________________.解析(1)A1O→－12AB→－12AD→＝A1O→－12AC→＝A1O→－AO→＝A1A→.题型分类·深度剖析(2)OC1→＝OC→＋CC1→＝12AB→＋12AD→＋AA1→.A1A→12AB→＋12AD→＋AA1→题型二共线定理、共面定理的应用【例2】如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例2】如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．思维升华解析思维启迪对于(1)只要证出向...
