平面向量与三角函数(sin1)(cos2)(0)41//tan172,sin(2)841(2010·南京期末卷)已知＝，，＝，，，．若，求的值；若＝求【例的值．】＋ababab1//2sincostan.21717·sincos2,881sin2(0)44152(0)cos2,4422sin(2)sin2cos2422212152302424812abab因为，所以＝，则＝因为＝，所以＋＝＝，因为，，所以，，＝所以＋＝＋＝＋＝【解析】本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的恒等变换及相关运算，向量与三角函数的结合，既符合在知识的“交汇处”命题，又加强了对双基的考查．3,00,3(cossin)1//tan2113(0)ABCOOCABOAOCOBOC���【变式已知，，，，为原点．若，求的值；练习】若＝，且，，求与的夹角的大小．22(cossin)0,33,0(3,3)//3cos3sin0tan1.(3cossin)(3cos)sin131cos.212OCABOCABOAOC����＝，，＝－＝－．因为，所以＋【＝，所以＝－因为＋＝＋，，所以＋＋＝，所以＝解析】(0)3313sin,(,).2223332cos.32[0].6COBOCOBOCOBOC���又，，所以＝，则＝所以所以、的夹角为，则＝＝＝又，，所以＝平面向量在几何中的应用【例2】如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点，四边形PECF是矩形．证明：(1)PA＝EF；(2)PA⊥EF..122220,1()(1)(0)22222222(,1)(1).2222DDCxDPAPEFPAEF���以为坐标原点，所在的直线为轴建立如图【证明】所示的坐标系设正方形的边长为，＝，则，，，，，，，于是＝－，，-222222221212222121,22.2222()11()222222221100222212.PAEFPAEFPAEFPAEFPAEFPAEF�����因为＝＝＝，＝所以,所以＝因为＝－＋－－－＝，所以，所以向量是解决图形问题的有力工具，而向量的坐标运算又是为图形问题转化为代数问题创造了条件，实现了形向数的转化．本题中，由于四边形ABCD是正方形，因此可以用坐标法解题．用平面向量证明平面几何问题时，要根据题目的条件选择用基向量法还是用坐标法．【变式练习2】已知△ABC中，∠C为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.2222()()22222203223220.33.aADCEACCDCAAEACCACDCAACAECDAEaaaaaaaaADCE��设此等腰直角三角形的直角边为，则＝＋＋＝－＋＝所以，【证明】平面向量在物理中的应用【例3】如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(忽略绳子的重量)．1212122110.,.180150301801206090.ABffNffffCffCFWECWCFfCEfCWfECWFCWFCECFW����设、处所受力分别为、，的重力用表示，则＋＝以重力作用点为、的始点，作平行四边形，使为对角线，则＝，＝因为＝－＝，＝－＝，所以＝所以平【行四边形解析】3cos301053,21cos60105253N5N.ECECWCECWAB��为矩形．所以＝＝＝＝，所以处受力为，处受力为利用向量的理论和方法可以有效地解决物理学中的合力、分力、运动学等许多问题，也为数学应用于实际开辟了新的途径．0000001,00,1(1,2)||(21)32|32|.0PPQQPQtPQPQPQt�两个动点从开着匀线运动为动点从发平面上有向量＝，＝．今有－始沿与向量＋相同的方向作速直，速度大小＋；另一－，－出，沿与向量＋相同的方向作匀速直线运动，速度大小为＋设、在时刻＝秒时，分别在、处，则当时，时间为多【变秒练】？习3少式1212121212eeeeeeeeee0000(1,2)(21)(21)(1,2)(13)1,00,11,1||23231,020,13,2|32|13.(1,2)1,1(12)(21)3,2(2312)PQPQtPtttQtttPQ��依题意，－，－，－，则＝－，－－－＝－，－，＋＝＋＝，所以＋＝，＋＝＋＝，＋＝所以在时刻时，点位置为－＋＝－＋，＋，点位置为－，－＋＝－＋，－＋．所【解析】以12121212eeeeeeee00(2312)(1,2)(123)(12)(1)(3)(3)02.ttttttPQPQt...
