平面向量与三角函数(sin1)(cos2)(0)41//tan172,sin(2)841(2010·南京期末卷)已知=,,=,,,.若,求的值;若=求【例的值.】+ababab1//2sincostan.21717·sincos2,881sin2(0)44152(0)cos2,4422sin(2)sin2cos2422212152302424812abab因为,所以=,则=因为=,所以+==,因为,,所以,,=所以+=+=+=【解析】本题是以平面向量的知识为平台,考查了三角函数的恒等变换及相关运算,向量与三角函数的结合,既符合在知识的“交汇处”命题,又加强了对双基的考查.3,00,3(cossin)1//tan2113(0)ABCOOCABOAOCOBOC���【变式已知,,,,为原点.若,求的值;练习】若=,且,,求与的夹角的大小.22(cossin)0,33,0(3,3)//3cos3sin0tan1.(3cossin)(3cos)sin131cos.212OCABOCABOAOC����=,,=-=-.因为,所以+【=,所以=-因为+=+,,所以++=,所以=解析】(0)3313sin,(,).2223332cos.32[0].6COBOCOBOCOBOC���又,,所以=,则=所以所以、的夹角为,则===又,,所以=平面向量在几何中的应用【例2】如图,四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上的一点,四边形PECF是矩形.证明:(1)PA=EF;(2)PA⊥EF..122220,1()(1)(0)22222222(,1)(1).2222DDCxDPAPEFPAEF���以为坐标原点,所在的直线为轴建立如图【证明】所示的坐标系设正方形的边长为,=,则,,,,,,,于是=-,,-222222221212222121,22.2222()11()222222221100222212.PAEFPAEFPAEFPAEFPAEFPAEF�����因为===,=所以,所以=因为=-+---=,所以,所以向量是解决图形问题的有力工具,而向量的坐标运算又是为图形问题转化为代数问题创造了条件,实现了形向数的转化.本题中,由于四边形ABCD是正方形,因此可以用坐标法解题.用平面向量证明平面几何问题时,要根据题目的条件选择用基向量法还是用坐标法.【变式练习2】已知△ABC中,∠C为直角,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的点,且AE=2EB,求证:AD⊥CE.2222()()22222203223220.33.aADCEACCDCAAEACCACDCAACAECDAEaaaaaaaaADCE��设此等腰直角三角形的直角边为,则=++=-+=所以,【证明】平面向量在物理中的应用【例3】如图,用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小(忽略绳子的重量).1212122110.,.180150301801206090.ABffNffffCffCFWECWCFfCEfCWfECWFCWFCECFW����设、处所受力分别为、,的重力用表示,则+=以重力作用点为、的始点,作平行四边形,使为对角线,则=,=因为=-=,=-=,所以=所以平【行四边形解析】3cos301053,21cos60105253N5N.ECECWCECWAB��为矩形.所以====,所以处受力为,处受力为利用向量的理论和方法可以有效地解决物理学中的合力、分力、运动学等许多问题,也为数学应用于实际开辟了新的途径.0000001,00,1(1,2)||(21)32|32|.0PPQQPQtPQPQPQt�两个动点从开着匀线运动为动点从发平面上有向量=,=.今有-始沿与向量+相同的方向作速直,速度大小+;另一-,-出,沿与向量+相同的方向作匀速直线运动,速度大小为+设、在时刻=秒时,分别在、处,则当时,时间为多【变秒练】?习3少式1212121212eeeeeeeeee0000(1,2)(21)(21)(1,2)(13)1,00,11,1||23231,020,13,2|32|13.(1,2)1,1(12)(21)3,2(2312)PQPQtPtttQtttPQ��依题意,-,-,-,则=-,---=-,-,+=+=,所以+=,+=+=,+=所以在时刻时,点位置为-+=-+,+,点位置为-,-+=-+,-+.所【解析】以12121212eeeeeeee00(2312)(1,2)(123)(12)(1)(3)(3)02.ttttttPQPQt...