第七节用向量方法证明平行与垂直(理)重点难点重点：用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系难点：将立体几何问题转化为向量问题．知识归纳一、用空间向量解决立体几何问题的思路1．坐标法：如果所给问题的图形中存在互相垂直的直线(或平面)，比较方便建立空间直角坐标系写出点的坐标，这种情况下，一般是建立恰当的空间直角坐标系，用坐标法通过坐标运算来解决．2．基向量法如果在所给问题中，不好寻找交于一点的互相垂直的三条直线，或者其坐标难于求出，这时常选图中不共面的三条直线上的线段构造基底，将所给问题的条件和待解决的结论，用基底及其线性表示来表达，通过向量运算来解决．二、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量的坐标；④结合公式进行计算，论证；⑤转化为几何结论．三、平面的法向量1．如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．2．求平面的法向量的方法设n是平面M的一个法向量，AB、CD是M内的两条相交直线，则n·AB→＝0，n·CD→＝0.由此可求出一个法向量n(向量AB→及CD→已知)．误区警示1．建立坐标系一定要符合右手系原则．2．证明线面平行时，一定要说明直线在平面外．一、如何用空间向量解决立体几何问题1．思考方向：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？2．空间问题如何转化为向量问题(1)平行问题⇒向量共线，注意重合；(2)垂直问题⇒向量的数量积为零，注意零向量；(3)距离问题⇒向量的模；(4)求角问题⇒向量的夹角，注意角范围的统一．3．向量的分解与组合是用向量法解决立体几何问题中经常遇到的问题，确定合适的基向量或建立恰当的空间直角坐标系是关键．二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系1．用向量方法研究两直线间的位置关系设直线l1、l2的方向向量分别为a、b.(1)l1∥l2或l1与l2重合⇔a∥b⇔存在实数t，使a＝tb.(2)l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b＝0.2．用向量方法研究直线与平面的位置关系设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，v1、v2是与α平行的两个不共线向量．(1)l∥α或l⊂α⇔存在两个实数λ、μ，使a＝λv1＋μv2⇔a·n＝0.(2)l⊥α⇔a∥n⇔存在实数t，使a＝tn.l⊥α⇔a⊥v1a⊥v2⇔a·v1＝0a·v2＝0.3．用向量方法研究两个平面的位置关系设平面α、β的法向量分别为n1、n2.(1)α∥β或α与β重合⇔n1∥n2⇔存在实数t，使n1＝tn2.(2)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.若v1、v2是与α平行的两个不共线向量，n是平面β的法向量．则①α∥β或α与β重合⇔v1∥β且v2∥β⇔存在实数λ、μ，对β内任一向量a，有a＝λv1＋μv2.②α⊥β⇔n⊥v1n⊥v2⇔n·v1＝0n·v2＝0.[例1]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.用向量证明线面平行证明：方法1：如下图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M0，1，12，N12，1，1，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN→＝12，0，12，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·DA1→＝0，且n·DB→＝0，∴x＋z＝0x＋y＝0，取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN→·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN→⊥n，又 MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.方法2： MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12(D1A1→－D1D→)＝12DA1→，∴MN→∥DA1→，又 MN⊄平面A1BD.∴MN∥平面A1BD.点评：(1)证明直线l1∥l2时，分别取l1、l2的一个方向向量a、b，则a∥b⇔存在实数k，使a＝kb或利用其坐标a1b1＝a2b2＝a3b3(其中a＝(a1，a2，a...
