§9.5椭圆基础知识自主学习要点梳理1．椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫.这两定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若，则集合P为椭圆；(2)若，则集合P为线段；(3)若，则集合P为空集．椭圆焦点焦距a>ca=cab>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)性质a，b，c的关系c2＝a2－b2[难点正本疑点清源]1.椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2(如右图)，它的三边长分别为a、b、c.易见c2＝a2－b2，且若记∠OF1B2＝θ，则cosθ＝ca＝e.2．椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在．基础自测1．已知F1、F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.8解析如图所示，由椭圆定义得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝20，又|AF2|＋|BF2|＝12，所以|AF1|＋|BF1|＝8，即|AB|＝82．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过两点(4,0)和(0,2)，则该椭圆的离心率等于________．32解析由题意可知椭圆的焦点在x轴上，并且a＝4，b＝2，故c＝a2－b2＝23，所以其离心率e＝ca＝32.3．椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且△F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．32解析由已知得∠AF1F2＝30°，故cos30°＝ca，从而e＝32.4．已知F1，F2是椭圆x216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A．6B．5C．4D．3A解析根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.5．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1(0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是()A.3π4，πB.π4，3π4C.π2，πD.π2，3π4D解析椭圆方程化为x21sinα＋y2－1cosα＝1. 椭圆焦点在y轴上，∴－1cosα>1sinα>0.又 0≤α<2π，∴π2<α<3π4.易错分析本题与三角函数结合．易错点有两个，一是椭圆标准方程转化错误；二是三角不等式求解错误．题型分类深度剖析题型一求椭圆的标准方程例1求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；(2)经过点P(－23，1)，Q(3，－2)两点；(3)与椭圆x24＋y23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)．思维启迪：由已知条件设出椭圆的标准方程，解方程(组)即可．注意焦点位置不确定的情形．解(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)， 椭圆过点A(3,0)，∴9a2＝1，a＝3， 2a＝3·2b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)， 椭圆过点A(3,0)，∴02a2＋9b2＝1，∴b＝3，又2a＝3·2b，∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.综上所述，椭圆方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.(2)设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，点P(－23，1)，Q(3，－2)在椭圆上，代入上述方程得12m＋n＝1，3m＋4n＝1.解得m＝115.n＝15.∴所求椭圆标准方程为x215＋y25＝1.(3)由题意，设所求椭圆的方程为x24＋y23＝t(t>0)， 椭圆过点(2，－3)，∴t＝224＋－323＝2，故所求椭圆标准方程为x28＋y26＝1.探究提高在求椭圆的标准方程时，如果焦点位置不确定，应注意分类讨论．变式训练1已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为435和235，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．解方法一设椭圆的标准方程是x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，两焦点分别为F1，F2，则由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝25，∴a＝5.在方程x2a2＋y2b2＝1中令x＝±c得|y|＝b2a，在方程y2a2＋x2b2＝1中令y＝±c得...
