第2课时直接证明与间接证明1.直接证明(1)综合法①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的,最后推导出所要证明的结论,这种证明方法叫综合法.基础知识梳理推理证明成立②框图表示:基础知识梳理P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(其中P表示条件,Q表示要证结论).(2)分析法①定义:从出发,逐步寻求使它成立的直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.这种证明的方法叫做分析法.基础知识梳理要证明的结论充分条件基础知识梳理②框图表示:Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.基础知识梳理综合法和分析法有什么区别与联系?【思考·提示】分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是寻求它的充分条件;综合法的特点是:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件.分析法与综合法各有其特点,有些具体的待证命题,用分析法或综合法均能证明出来,往往选择较简单的一种.2.间接证明反证法:假设原命题,经过正确的推理,最后得出,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫反证法.基础知识梳理不成立矛盾1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:A三基能力强化2.若a>b>0,则下列不等式中总成立的是()答案:A三基能力强化A.a+1b>b+1aB.ba>b+1a+1C.a+1a>b+1bD.2a+ba+2b>ab3.用反证法证明命题:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a、b、c中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是()A.假设a、b、c都是偶数B.假设a、b、c都不是偶数C.假设a、b、c至多有一个偶数D.假设a、b、c至多有两个偶数答案:B三基能力强化4.设p=2x4+1,q=2x3+x2,xR∈,则p与q的大小关系是________.答案:p≥q三基能力强化5.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________.答案:存在一个三角形,其外角最多有一个钝角三基能力强化1.综合法是“由因导果”,它是从已知条件出发,顺着推证,经过一系列的中间推理,最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系是:A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等,B为要证结论),它的常见书面表达是“ ,∴”或“⇒”.课堂互动讲练考点一综合法2.综合法是中学数学证明中常用方法,其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法.课堂互动讲练课堂互动讲练例例11已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2≥13.课堂互动讲练【思路点拨】利用a2+b2≥2ab→同向不等式求和→结论【证明】 x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2zx,∴(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)≥2xy+2yz+2zx,∴3(x2+y2+z2)≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx,即3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=1,课堂互动讲练∴x2+y2+z2≥13.【方法总结】(1)综合法的思维特点是:由已知推出结论.用综合法证明不等式中常用的重要不等式有:a2≥0,a2+课堂互动讲练b2≥2ab(a,b∈R);a+b2≥ab(a,b∈(0,+∞));ba+ab≥2(a,b同号)等;(2)用综合法证不等式时,以基本不等式为基础,以不等式的性质为依据,进行推理论证.因此,关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质.课堂互动讲练分析法是“执果索因”,它是从要证的结论出发,倒着分析,逐渐地靠近已知事实.用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是:课堂互动讲练考点二分析法为了证明命题Q为真,这只需证明命题P1为真,从而有……这只需证明命题P2为真,从而有………这只需证明命题P为真.而已知P为真,故Q必为真.课堂互动讲练课堂互动讲练例例22已知非零向量a⊥b,求证:|a|+|b||a-b|≤2.【证明】 a⊥b,∴a·b=0.平方得:|a|2+|b|2+2|a||b|≤2(|a|2+|b|2-2a·b),只需证:|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,即(|a|-|b|)2≥0,显然成立.故原不等式得证.课堂互动讲练要证|a|+|b||a-b|≤2,只需证:|a|+|b|≤2|a-b|,【思路点拨】a⊥b⇔a·b=0,利用a2=|a|2.【名师点评】本题从要证明的结论出发,探求...