1．直线和平面垂直是如何定义的？我们已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简单的回顾：2．直线和平面垂直的判定定理是什么?3．什么叫做平面的斜线、斜线在平面上的射影？根据直线与平面垂直的定义我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直，那么，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直.直线a的如下四种位置关系，都是常见的情形．如图，在平面α上除a以外还有几条直线和斜线PO垂直？它们与a有什么关系？答：有无数条与a平行的直线和斜线PO垂直.αAPaOαAPaOαAPaOαAPaO（1）（2）（3）（4）αAPOaa三垂线定理基本图形的特点分析1:一面（垂面）,2:四线（斜线、垂线、射影和平面内的直线）,3:三垂直？AaOPPAOaα三三三三三三三三三三三三三三三②三三三三PAOaα①三三三三③三三三三PAOaα直线和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直如何灵活地应用三垂线定理呢？第一步确定一个平面（平面BC1），第二步确定平面的垂线（C1D1），第三步确定斜线在平面上的射影（垂足与斜足的连线BC1），∵BC1B⊥1C,∴BD1B⊥1C．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，证明：BD1B⊥1C.DBACA1D1C1B1我们从下面的例子中进一步理解三垂线定理的解题步骤．顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线面内找.例1直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点,求证：PO⊥BD，PC⊥BD.(1)POABCD(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AM.BPMCA(2)(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1.ADCBA1D1B1C1(3)三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直（垂线）,二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直.注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件.PAOaαPAOaαbcde三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三①三三三三②三三三三使用三垂线定理还应注意些什么？三三a在一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立.PAOaα例如：当b⊥时，b⊥OA,注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但b不垂直于OP.⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.（）例题2：判断下列命题是否正确：b与a在α上的射影AC垂直，×把面ABCD看作面α,把直线A1C看作斜线a,则a在面α上的射影为AC,把直线B1B看作垂线b,但a与b不垂直.ADCBA1D1C1B1分析（1）如图：⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.()把面ABCD看作面α,把直线A1C看作斜线a,则a在面α上的射影为AC,把B1B看作β内的直线b,把面B1BCC1看作面β,分析（2）如图：ADCBA1D1C1B1×但a与b不垂直.⑶若a是平面α的斜线，直线bα且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b.（）把面ABCD看作面α,把直线A1C看作斜线a,则a在面β上的射影为B1C,把AB看作α内的直线b.把面B1BCC1看作面β,分析（3）如图：ADCBA1D1C1B1×⑷若a是平面α的斜线，b∥α,直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.（）把面ABCD看作面α,把直线A1C看作斜线a,则a在面α上的射影为AC,直线bα∥，bAC.⊥分析（4）如图：√ADCBA1D1C1B1αAPOa三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法，要理解三垂线定理的基本要素:即确定一个平面、平面的垂线、平面的斜线、斜线在平面上的射影．它们都与平面内的直线a垂直．我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件，要学会灵活应用三垂线定理.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．命题：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．
