高考数学一轮复习 第八篇 立体几何第7讲 立体几何中的向量方法(一)课件 理 课件VIP专享VIP免费

第7讲立体几何中的向量方法(一)第7讲立体几何中的向量方法(一)【2013年高考会这样考】1．通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算．2．能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理．3．利用空间向量求空间距离．【复习指导】本讲复习中要掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，会用向量法求空间距离．基础梳理1．空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔，，，a⊥b⇔⇔(a，b均为非零向量)．a1＝λb1a2＝λb2a3＝λb3(λ∈R)a·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|AB→|＝a2－a12＋b2－b12＋c2－c12.非零向量(2)用向量证明空间中的平行关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔.②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔.③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔.④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔.v1∥v2存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2v⊥uu1∥u2v1⊥v2v1·v2＝0vu∥u1⊥u2u1·u2＝0一种思想向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范，是对向量大小和方向的量化：(1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标；(2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标．得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题．双基自测1．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是()．A．平行B．相交C．垂直D．不确定解析 v2＝－2v1，∴v1∥v2.答案A2．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是()．A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)解析 n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，∴n⊥MP→，在选项A中，MP→＝(1,4,1)，∴n·MP→＝0.答案A3．(2011·唐山月考)已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则AP→·AB→＝0，且AP→·AC→＝0是AP→·BC→＝0的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由AP→·AB→＝0AP→·AC→＝0，得AP→·(AB→－AC→)＝0，即AP→·CB→＝0，亦即AP→·BC→＝0，反之，若AP→·BC→＝0，则AP→·(AC→－AB→)＝0⇒AP→·AB→＝AP→·AC→，未必等于0.答案A4．(人教A版教材习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是()．A．a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对解析 c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，∴a∥c，又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.答案C考向一利用空间向量证明平行问题【例1】►如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.[审题视点]直接用线面平行定理不易证明，考虑用向量方法证明．证明法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M0，1，12，N12，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN→＝12，0，12，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·DA1→＝0，且n·DB→＝0，得x＋z＝0，x＋y＝0.取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN→·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN→⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.法二MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12(D1A1→－D1D→)＝12DA1→，∴...