第三章导数（选修）第一节导数及其运算知识自主·梳理最新考纲1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式(C、xm(m为有理数)，sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数)，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些高等函数的导数．高考热点导数的几何意义、物理意义、切线问题是高考的热点，常在小题中考查，有时也融在解答题中来考查.重点辨析(3)函数在x＝x0处可导是函数在x＝x0处连续的充分不必要条件，即可导必连续，连续未必可导．(4)应该指出，在通常情况下，我们不用定义求函数在某一点处的导数，而是先求导函数，进而求导数值，但必须正确掌握函数在某点处的导数的定义，学会运用定义解决相关问题．(5)注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是．一般曲线的切线与曲线可以有二个以上的公共点．(6)函数ex具有特殊的性质：f′(x)＝f(x)．(7)准确记忆常用函数的导数公式，防止出现记忆不准，导数运算失误．(8)一个函数可以看成由两个不同的函数复合而成，利用复合函数求导，要注意适当选择中间变量．比如y＝2(3x＋1)4，可令u＝3x＋1，y＝2u－4；也可令u＝(3x＋1)4，y＝2u，但求导时显然是第一种形式更有利于求导．(9)应用复合函数求导法则时，要注意弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆．(10)在复合函数求导问题中，要注意区分f′(u(x)]与[f(u(x))]′的不同含义．前面是先对f(x)求导，再在导函数中用u(x)代替x，后者是在f(x)中用u(x)代x，再对x求导，一般情况下，两者不相等．方法规律·归纳例1已知某运动物体的位移y(米)与其运动时间t(秒)的函数关系为y＝t3＋t.(1)设y＝f(t)，利用导数的定义求f′(t)．(2)求该物体在t＝2秒时的瞬时速度．[分析]首先求出f(x0＋Δx)－f(x0)，再对化简，最后求其极限，是求f′(x0)的基本步骤，物体在某时刻的瞬时速度即该时刻位移关于时间的函数的导数值．[解](1)f(t＋Δt)－f(t)＝(t＋Δt)3－t3＋(t＋Δt)－t＝Δt[(Δt＋t)2＋t(t＋Δt)＋t2＋1]＝Δt[3t2＋3Δt·t＋(Δt)2＋1]，(2)t＝2秒时的瞬时速度即f′(2)，∴瞬时速度为f′(2)＝3×4＋1＝13(米/秒)．[规律总结](1)利用定义求f′(t)涉及到函数极限的求法，注意应用极限的运算法则．(2)导数的物理意义在自然科学中有着广泛的应用，也是高考的热点之一，如位移关于时间的导数为速度，速度关于时间的导数为加速度.备考例题1题设条件不变，求该物体在t＝2秒时的加速度的大小．解：由题意可知，物体运动t秒时的瞬时速度为f′(t)＝3t2＋1，∴t秒时刻的物体的加速度为[f′(t)]′＝(3t2＋1)′＝6t，∴该物体在t＝2秒时的加速度为6×2＝12(米/秒2).例2求下列函数的导数：题型二导数的求法思维提示求导公式[解](1)y＝x－2，y′＝－2x－2－1＝－2x－3＝－2x3.(或y′＝(1x2)′＝－(x2)′x4＝－2x－3＝－2x3)．(2)y′＝(1sinx)′＝－(sinx)′(sinx)2＝－cosxsin2x＝－cosxsin2x.(3)y′＝(1x)′＋(2x2)′＋(1x3)′＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′＝－x－2－4x－3－3x－4＝－1x2－4x3－3x4.(4)y′＝(sinxx)′＝(sinx)′·x－sinx·(x)′x2＝xcosx－sinxx2.[规律总结]化简后可直接用导数公式来求解的往往不直接应用运算法则，尤其是商的运算法则.备考例题2求下列函数的导数：(1)y＝15x5－43x3＋3x2＋2；(2)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(3)y＝x1－x＋x2；＝x4－4x2＋6x.(2) y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4，或y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.例3求下列函数的导数：(1)y＝(2x－3)5；(2)y＝3－x；(3)y＝ln(x＋1＋x2)．[解](1)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5由y＝u5，u＝2x－3复合而成．由复合函数的求导法则得y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2＝10(2x－3)4.(2)设u＝3－x，则y＝u12，u＝3－x.y′＝f′(u)·u′(x)＝(u12)′(3－x)′＝12u－12(－1)＝－123－x＝－3...
