高三数学总复习导与练 第六篇第二节配套课件(教师用) 理 课件VIP专享VIP免费

第2节等差数列1．等差数列的概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，其符号语言为an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．(2)等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A＝a＋b2.2．等差数列的通项公式设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.3．等差数列的前n项和(1)公式的推导：等差数列的前n项和公式是用倒序相加法求得的．(2)等差数列{an}的前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－1d2.质疑探究：如何用函数的观点认识等差数列{an}的通项公式an及前n项和Sn?提示：(1)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，d≠0时，an是n的一次函数．当d>0时，{an}为递增数列，当d<0时，{an}为递减数列，当d＝0时，{an}为常数列．(2)等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋(a1－d2)n.d≠0时，Sn是n的二次函数，且常数项为零．据此特点可判断{an}是否为等差数列．同时，可用配方法或图象法求Sn的最值问题．d＝0时，Sn为n的一次函数．4．等差数列{an}的常用性质(1)通项推广：an＝am＋(n－m)d(d为数列{an}的公差)．(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….(3)项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(4)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等差数列，公差为k2d.(5)Sn＝a1＋an2n＝a2＋an－12n＝a3＋an－22n＝….1．(2010年高考重庆卷)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(A)(A)5(B)6(C)8(D)10解析：a5＝a1＋a92＝102＝5，故选A.2．(教材改编题)设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}的前8项和为(C)(A)128(B)80(C)64(D)56解析：由于a2＋a7＝a1＋a8＝16，所以S8＝a1＋a82×8＝64，故选C.3．数列{an}中，a1＝15，an＋1＝an－2(n∈N*)，则使该数列的前n项和Sn取得最大值的n为(B)(A)7(B)8(C)9(D)6解析：由已知，数列{an}为等差数列，其公差为－2，所以an＝15＋(n－1)×(－2)＝17－2n，由于a8>0，a9<0，且{an}是递减数列，所以前8项和最大，故选B.4．(2009年高考山东卷)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.解析： a5＝a2＋6，又a5＝a2＋(5－2)d，∴d＝2，∴a6＝a3＋(6－3)d＝7＋3×2＝13.答案：13等差数列的判定与证明【例1】已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p、q∈R，且p、q为常数)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列；(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．思路点拨：(1)直接运用定义求解；(2)视an＋1－an为一整体再用定义证明即可．(1)解：an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，要使{an}是等差数列，则2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0.故当p＝0，q∈R且q为常数时，数列{an}是等差数列．(2)证明： an＋1－an＝2pn＋p＋q，∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数．∴{an＋1－an}是等差数列．(1)判断或证明一个数列是否为等差数列，通常用定义法，即只需判断an＋1－an＝d(常数)是否成立．除此之外，还有时用等差中项法，即若有2an＝an＋1＋an－1(n≥2)，则{an}为等差数列．(2)解答选择题或填空题时，还可利用通项公式或前n项和公式进行直接判断．若通项an为n的一次函数，即an＝An＋B(A≠0)，则{an}为等差数列．若前n项和Sn＝An2＋Bn，则{an}为等差数列．等差数列中的基本运算【例2】(2010年高考辽宁卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.思路点拨：欲求a9，可由已知列出关于a1和公差d的方程组，求出a1和公差d即可．解析：设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3×22d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1①同理S6＝6a1＋6×52d＝6a1＋15d＝24，所以2a1＋5d＝8②联立①②，可解得a1＝－1，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝15.答案：15等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d中，有...