§5.2平面向量基本定理及坐标运算考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考5.2平面向量基本定理及坐标运算双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．平面向量的基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中________的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．不共线不共线基底2．平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y使得a＝xi＋yj，我们把(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝_________．其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，(x，y)叫做向量a的坐标表示．与a相等的向量的坐标也为(x，y)．显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．(x，y)3．平面向量的坐标运算(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．则a＋b＝_________________，a－b＝_________________．(2)已知a＝(x，y)和实数λ，那么λa＝________．(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)．则a∥b的充要条件是____________＝0.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)x1y2－x2y1(4)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(5)若点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则MN→＝(x2－x1，y2－y1)．思考感悟：1．向量的坐标与点的坐标有什么区别与联系？提示：向量的坐标是用有向线段的起点和终点的坐标来计算的，即终点的坐标减起点的同名坐标，当起点在坐标原点时，终点的坐标就是该向量的坐标．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件能表示成x1x2＝y1y2吗？提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．思考感悟：1．(教材例4改编)若a＝(x,2)，b＝(6,3)，且a∥b，则x为()A．1B．2C．3D．4答案：D课前热身2．若向量a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则向量2b－a的坐标是()A．(3,4)B．(－3,4)C．(3，－4)D．(－3，－4)答案：D3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC→＝2AD→，则顶点D的坐标为()A．(2，72)B．(2，－12)C．(3,2)D．(1,3)答案：A4．在△ABC中，AB→＝a，BC→＝b，若O为△ABC的重心，则BO→＝________(用a、b表示)．答案：13(b－a)5．下列各组向量中①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝(12，－34)，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是________．答案：①考点探究·挑战高考考点突破平面向量基本定理平面向量基本定理是用已知向量来表示未知向量的理论依据．实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算，参考教材5.3中的例4的解法．例例11【思路分析】分别在△ADM和△ABN中，利用三角形法则AM→＝AD→＋DM→，AN→＝AB→＋BN→.【名师点评】本题构造了向量方程组通过解方程组求得AB→，AD→的表达式．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用，参考教材5.4的例3.平面向量的坐标运算例例22已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.【思路分析】首先利用点的坐标求出向量坐标，再按坐标运算法则求向量坐标．【解】a＝AB→＝(3，－1)－(－2,4)＝(5，－5)；b＝BC→＝(－3，－4)－(3，－1)＝(－6，－3)；c＝CA→＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(6，－42)．(2) mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.【思维总结】向量加减法的坐标运算就是向量在x轴上的相应坐标、在y轴上的相应坐标之间的加减运算，是向量的代数运算形式．互动探究1向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法，参...
