第二节抛物线1．拋物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的轨迹叫做拋物线，点F叫做拋物线的焦点，直线l叫做拋物线的，定点F不在定直线l上．当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？【提示】当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线．相等的点准线标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈R对称轴x轴顶点坐标原点O(0,0)焦点坐标p2，0－p2，0准线方程x＝－p2x＝p2离心率e＝1焦半径|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2通径长2P标准方程x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形范围y≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴y轴顶点坐标原点O(0,0)焦点坐标0，p20，－p2准线方程y＝－p2y＝p2离心率e＝1焦半径|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2通径长2P其中p表示焦点到准线的距离，其恒为正数．(1)p的几何意义：p是焦点到准线的距离，故p恒为正数．(2)拋物线标准方程的形式特点①形式为y2＝±2px或x2＝±2py；②一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定拋物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”；③焦点的非零坐标是一次项系数的14.焦点在x轴上的拋物线的标准方程可统一写成y2＝ax(a≠0)；焦点在y轴上的拋物线的标准方程可统一写成x2＝ay(a≠0)．1．若拋物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4D．4【解析】椭圆x26＋y22＝1的右焦点为(2,0)，所以拋物线y2＝2px的焦点为(2,0)，则p＝4.【答案】D2．顶点在原点，关于坐标轴对称，且过点(2，－3)的抛物线方程是()A．y2＝92xB．x2＝－43yC．y2＝92x或x2＝－43yD．以上都不正确【解析】分焦点在x轴和y轴上求解．选C.【答案】C3.在拋物线y2＝2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为()A.12B．1C．2D．4【解析】由拋物线定义可知：p2＋4＝5，∴p＝2.【答案】C4．设抛物线的顶点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－1，则它的焦点坐标为________．【解析】将抛物线向左平移2个单位长度将准线方程变为x＝－3，故新抛物线方程为y2＝12x.它的焦点坐标为(3,0)，故原抛物线焦点坐标为(5,0)．【答案】(5,0)5．过抛物线y2＝4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A、B两点．则以F为圆心、AB为直径的圆方程是________．【解析】由y2＝4x得F(1,0)，令x＝1，代入y2＝4x得：y＝±2，∴|AB|＝4，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.【答案】(x－1)2＋y2＝4求下列各拋物线的标准方程：(1)顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点M(－2，－4)；(2)顶点在坐标原点，焦点在y轴上，拋物线上一点Q(m，－3)到焦点的距离等于5.【思路点拨】确定拋物线方程的那种形式，本利用待定系数法求参数p.【解析】(1)设拋物线为y2＝mx或x2＝ny，则(－4)2＝m(－2)⇒m＝－8.或(－2)2＝n(－4)⇒n＝－1.∴所求的拋物线方程为y2＝－8x或x2＝－y.(2)依题意，拋物线开口向下，故设其方程为x2＝－2py.则准线方程为y＝p2，又设焦点为F，则|QF|＝p2－yQ，即p2－(－3)＝5⇒p＝4.故拋物线方程为x2＝－8y.已知拋物线y2＝2x的焦点是F，点P是拋物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点坐标．重视定义在解题中的应有，灵活地进行拋物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决拋物线焦点弦有关问题的重要途径．1．过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点F任作一条直线m，交此拋物线于P1、P2两点，求证以P1、P2为直径的圆和这条拋物线的准线相切．【证明】如图所示，设P1、P2的中点为P0，过P1、P2、P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q0，根据拋物线的定义得：|P1F|=|P1Q1|，|P2F|=|P2Q2|，∴|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|. P1Q1P0Q0P2Q2∥∥，|P1P0|=|P0P2|，A、B是拋物线y2＝2px(p＞0)上的两点，且OAOB.⊥(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点；(3)求△AOB面积的最小值．【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)．kOA＝y1x1，kOB＝y2x2. OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0. y12＝2px1，y22＝2px2，∴y122p·y222p＋y1y2＝0 y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，...
